7.5 El concepto de P-valor

Juegan parqués en la casa de tu abuela. Para sacar fichas de la cárcel hay que sacar pares, y con dos dados normales eso pasa 1 de cada 6 veces. Tu primo sacó pares 8 veces en sus primeros 20 lanzamientos. Todo el mundo lo mira raro.

¿Tiene los dados cargados o tuvo suerte? No se puede saber con certeza: con dados normales también pueden salir 8 pares. Lo que sí se puede medir es qué tan raro sería eso si los dados fueran normales. Ese número se llama valor p, y es uno de los más usados (y peor entendidos) de la ciencia.

Una prueba de hipótesis parte de la hipótesis nula, $H_0$: «no pasa nada raro» (los dados son normales, el fertilizante no hace nada, la moneda no está trucada). El valor p es la probabilidad de obtener un resultado tan extremo como el observado, o más, si $H_0$ fuera cierta:

Para decidir, se compara con un umbral escogido antes de mirar los datos, el nivel de significancia $\alpha$ (casi siempre 0,05). Si $p \le \alpha$, el resultado es demasiado raro para el mundo de $H_0$ y se rechaza $H_0$: el resultado es «estadísticamente significativo». Si $p > \alpha$, no se rechaza: los datos no alcanzan para descartar el azar, lo que no prueba que $H_0$ sea cierta.

«Extremo» depende de la pregunta. Si solo importa un lado (más pares de lo normal), se mira una cola; si importan los dos (la moneda sale cara de más o de menos), se miran las dos colas.

Alguien dice que en tu colegio la mitad de los estudiantes está de acuerdo con una propuesta. Les preguntas a 10 estudiantes al azar y 8 dicen que sí. ¿Le crees? Usa $\alpha = 0{,}05$.

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   La hipótesis nula y el modelo

   Si de verdad la mitad está de acuerdo, el número de «sí» entre 10 es binomial con p = 0,5.

   $$\begin{aligned} H_0: p &= 0{,}5 \\ X \sim B(10;\ 0{,}5) \end{aligned}$$
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   ¿Qué es «tan extremo o más»?

   Te sorprende que haya muchos «sí»: cuentan 8, 9 y 10. Cada uno de los 2¹⁰ = 1.024 caminos tiene probabilidad 1/1.024.

   $$\begin{aligned} &\binom{10}{8} + \binom{10}{9} + \binom{10}{10} \\ &= 45 + 10 + 1 = 56 \end{aligned}$$
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   El valor p

   $$\begin{aligned} p &= P(X \ge 8 \mid H_0) \\ &= \frac{56}{1\,024} \\ &\approx 0{,}0547 \end{aligned}$$
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   Decide y explica

   Como 0,0547 > 0,05, no se rechaza H₀. Un resultado así saldría en unas 5 de cada 100 encuestas de 10 personas aunque la mitad esté de acuerdo. Es una señal, no una prueba: para estar más seguros hace falta preguntar a más gente.

Problema del libro «Matemáticas para un mundo sostenible», capítulo 18.6 (respuesta: 56/1.024 ≈ 0,0547).

Siete preguntas. Si te equivocas, la explicación te dice dónde estuvo el error.