Situación real
El PIN de tu celular
El PIN de tu celular tiene cuatro cifras. ¿Cuántos PIN distintos hay? Escribirlos todos, del 0000 al 9999, llevaría horas. Hay una manera más corta: pensar el PIN como una tarea de cuatro etapas y contar las opciones de cada una.
Con la misma idea se cuentan las rutas de Luz Marina de su vereda al pueblo, los códigos de las cámaras trampa o las apuestas de una lotería, sin hacer ninguna lista.
Fuente: Sección 9.1 del libro «Matemáticas para un mundo sostenible» (principios de conteo).
Cada casilla multiplica
Momento animado
¿Cuántos PIN hay?
Dale «Reproducir» y mira cómo crece el número de PIN con cada casilla.
Etapa 1 de 5 · Una cifra
La cuenta
10
cada casilla, 10 opciones
PIN posibles
10
con 1 cifra
Los dos principios
Si una tarea se hace en k etapas, y cada etapa tiene siempre el mismo número de opciones sin importar lo que se escogió antes, la tarea completa se puede hacer de n₁ · n₂ ⋯ nₖ maneras.
Si hay que escoger una sola opción entre grupos que no tienen opciones en común, hay m₁ + m₂ + ⋯ + mᵣ maneras.
En pocas palabras: «y» multiplica (primero esto y después aquello) y «o» suma (esto o aquello, sin que se solapen). Un diagrama de árbol muestra todos los casos: Luz Marina va hasta el cruce del río en lancha o a pie, y del cruce al pueblo en bus, en moto o en bicicleta. Cada rama del primer tramo se abre en tres: 2 · 3 = 6 rutas.
Ejemplo resuelto
Los códigos de las estaciones
En un muestreo, cada estación de cámara lleva un código: una letra seguida de una cifra, o una letra seguida de dos cifras (por ejemplo, K7 o K07). Con las 27 letras del alfabeto español, ¿cuántos códigos hay?
- 1
Separa los casos
Los códigos de una cifra y los de dos cifras no se solapan: K7 y K07 son códigos distintos. Se cuentan aparte y se suman. - 2
Una letra y una cifra
Dos etapas: 27 letras y 10 cifras. - 3
Una letra y dos cifras
Tres etapas: 27, 10 y 10. - 4
Junta los grupos
«O» suma: un código es de una cifra o de dos.
Ejemplo de la sección 9.1 del libro «Matemáticas para un mundo sostenible». Cuentas verificadas con sympy.
¿«Y» o «o»?
Arma un almuerzo: si escoges un plato y una bebida, las opciones se multiplican; si escoges solo una cosa, se suman.
El Restaurante Combinatorio
Etapa 1: Comida (3)
Etapa 2: Bebida (2)
Debes elegir UNO de cada grupo (Eventos Sucesivos).