3.4 Axiomas de Probabilidad

Conoce los 3 principios inquebrantables de Kolmogorov sobre los que se construye toda la teoría de la probabilidad moderna.

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Situación real

363 registros que tienen que sumar 1

Las cámaras trampa del caño Teracay dejaron 363 registros de 16 especies: 136 de guatín negro, 101 de lapa, 54 de danta… y uno solo de puma. Si se reparte la probabilidad entre las especies según sus registros, ¿qué reglas tiene que cumplir ese reparto?

En 1933, Andréi Kolmogórov respondió con tres reglas, los axiomas: ninguna probabilidad es negativa, lo seguro vale 1, y la probabilidad de eventos que no pueden pasar a la vez se suma. De ahí sale todo lo demás.

Fuente: Rojas y Quintana Vargas (2021), «Fototrampeo de la desembocadura del caño Teracay en el río Tomo, Puerto Carreño, Vichada», Instituto Humboldt, SiB Colombia; capítulo 9 del libro «Matemáticas para un mundo sostenible».

Axioma 1

No Negatividad
P(A)≥0P(A) \ge 0

La probabilidad es una medida. Al igual que no existe una distancia negativa o un peso negativo, no existe una "posibilidad de -5%". Lo mínimo es la imposibilidad (0).

Axioma 2

Certeza
P(Ω)=1P(\Omega) = 1

Si sumas las probabilidades de todo lo que puede pasar, obtienes el 100% (1). Es seguro que "algo" del espacio muestral ocurrirá.

Axioma 3

Aditividad
P(A∪B)=P(A)+P(B)P(A \cup B) = P(A) + P(B)

Solo si son disjuntos (A∩B=∅)(A \cap B = \emptyset). Si dos eventos no pueden ocurrir a la vez, la probabilidad de que pase uno o el otro es la suma simple.

Momento animado

La probabilidad se reparte

Dale «Reproducir» y mira cómo los 363 registros llenan la barra que vale 1.

Ω: los 363 registros = probabilidad 101Cada pedazo, una especie; su largo, sus registros
0%
Etapas

Etapa 1 de 5 · Repartir

Las cámaras del caño Teracay dejaron 363 registros de 16 especies. Cada especie recibe un pedazo de la barra, proporcional a sus registros. Ningún pedazo puede ser negativo: es el primer axioma.

Suma de las partes

0/363

ninguna parte es negativa

Registros

363

16 especies, 45 días (2017)

Laboratorio: Llenando el Espacio Muestral Ω\Omega

Agrega eventos disjuntos (que no se solapan). Observa cómo la suma nunca puede superar el 100% (1).

Espacio Vacío
Suma de Probabilidades: 0,0%
P(∪Ai)=∑P(Ai)≤1P(\cup A_i) = \sum P(A_i) \le 1

Propiedades Derivadas (Lo que ganamos)

1
Probabilidad del Vacío

P(∅)=0P(\emptyset) = 0

Consecuencia lógica: Si algo debe pasar (Axioma 2), la probabilidad de que "nada" pase es cero.

2
Regla del Complemento

P(Ac)=1−P(A)P(A^c) = 1 - P(A)

Fundamental para ejercicios de "al menos uno". A veces es más fácil calcular lo que NO quieres y restarlo de 1.

3
Suma General

P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B)P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)

Si NO son disjuntos, debemos restar la intersección para no contarla dos veces.

4
Monotonía

A⊆B⇒P(A)≤P(B)A \subseteq B \Rightarrow P(A) \le P(B)

Si el evento A está dentro del evento B, A no puede ser más probable que B.

Ejemplo resuelto

¿Es válido este pronóstico?

Para mañana, una aplicación del clima da estas probabilidades (datos hipotéticos): llueve, 0,6; nublado sin lluvia, 0,3; despejado, 0,2. ¿Cumplen los axiomas? Si no, ¿qué tendría que valer «despejado»?

  1. 1

    Los tres resultados son excluyentes y cubren todo

    Mañana pasa uno, y solo uno, de los tres: forman Ω.
  2. 2

    Axioma 1: ninguno es negativo

    0,6; 0,3 y 0,2 son mayores o iguales que 0. Esta parte se cumple.
  3. 3

    Axioma 2: tienen que sumar 1

    0,6+0,3+0,2=1,1≠10{,}6 + 0{,}3 + 0{,}2 = 1{,}1 \neq 1
  4. 4

    La corrección

    Si llueve y nublado se quedan, despejado tiene que ser lo que falta para 1.
    P(despejado)=1−0,6−0,3=0,1\begin{aligned} P(\text{despejado}) &= 1 - 0{,}6 - 0{,}3 \\ &= 0{,}1 \end{aligned}
  5. 5

    Comprueba con el complemento

    P(no llueve) = 1 − 0,6 = 0,4, que es nublado más despejado: 0,3 + 0,1. Todo cuadra.

Ejercicio propio, con los axiomas de la sección 9.6 del libro «Matemáticas para un mundo sostenible».

Práctica

Ejercicio 1: Axiomas de Kolmogorov y Estados del Sistema de Alarma
Un sistema de monitoreo opera en tres estados mutuamente excluyentes (disjuntos) y exhaustivos: Verde (seguro), Amarillo (precaución) y Rojo (peligro crítico). Por calibración previa se conoce que P(Verde) = 0,65 y P(Amarillo) = 0,25.
¿Cuáles son respectivamente los valores exactos de P(Rojo) y de la probabilidad de que el sistema NO se encuentre en estado Verde (P(Verdeᶜ))?
Reto tipo PISA: Auditoría Financiera y la Violación del Axioma de Certeza
Un analista financiero presenta un informe trimestral asignando las siguientes probabilidades para el comportamiento del precio de una acción líder: P(Subir) = 0,55, P(Mantenerse) = 0,10 y P(Bajar) = 0,45, asumiendo que representan todos los escenarios posibles y que no pueden ocurrir simultáneamente.
¿Por qué este modelo predictivo es matemáticamente inadmisible de acuerdo con la fundamentación axiomática de Andréi Kolmogorov?
Ejercicio 3: Una lista válida
Un experimento tiene tres resultados posibles, que no pueden pasar a la vez.
¿Cuál de estas listas puede ser la de sus probabilidades?
Ejercicio 4: No es una danta
De los 363 registros de las cámaras del Vichada, 54 son de danta.
¿Cuál es la probabilidad de que un registro escogido al azar no sea de danta?
Ejercicio 5 (tipo Saber 11): Al menos un 6
Se lanzan dos dados, uno rojo y uno azul.
¿Cuál es la probabilidad de que salga al menos un 6?
Ejercicio 6: Un evento dentro de otro
Se lanza un dado. A: «sale 6». B: «sale par».
¿Qué afirmación es cierta?