3.3 Enfoques de Probabilidad | Probabilidad y Estadística

Situación real

¿El próximo animal será una danta?

En 2017, las cámaras trampa del Instituto Humboldt en el caño Teracay (Vichada) dejaron 363 registros de mamíferos en 45 días; 54 eran de danta. ¿Cuál es la probabilidad de que el próximo animal que pase frente a la cámara sea una danta?

Aquí no hay casos igual de probables que contar: no hay un «dado de animales». Lo que sí hay son datos, y una estimación razonable es 54/363 ≈ 0,149. Esa es la probabilidad frecuencial: la que sale de repetir y contar.

Fuente: Rojas y Quintana Vargas (2021), «Fototrampeo de la desembocadura del caño Teracay en el río Tomo, Puerto Carreño, Vichada», Instituto Humboldt, publicado en el SiB Colombia; sección 9.8 del libro «Matemáticas para un mundo sostenible».

¿Por qué sirve contar?

Con un dado se puede comprobar: contando los casos, la probabilidad del 6 es 1/6. ¿Qué pasa con la frecuencia si se lanza muchas veces?

Momento animado

La frecuencia se estabiliza

Dale «Reproducir» y mira qué le pasa a la frecuencia del 6 a medida que se lanza más veces.

Avance0%

Etapa 1 de 5 · Pocos

Un computador lanza un dado y cuenta los seis. Con pocos lanzamientos la frecuencia salta: tras 3 lanzamientos ya había salido 6 dos veces, una frecuencia de 0,667.

Lanzamientos

salió 6: 0 veces

Frecuencia relativa

0,000

a 0,167 de 1/6

Frecuencia relativa

f_n(A) = \frac{n_A}{n}

Si un experimento se repite n veces, la frecuencia relativa de A (las veces que ocurrió, divididas entre n) se estabiliza alrededor de P(A) cuando n crece: es la ley de los grandes números.

El Prisma de Interpretación

Selecciona una situación para ver cómo la interpreta cada escuela de pensamiento:

Clásico

50%. La moneda es físicamente simétrica. Hay 2 resultados posibles (Cara, Cruz) y son equiprobables.

Frecuentista

Aprox 50%. Si la lanzo 10.000 veces, la frecuencia de caras tenderá a acercarse al 0,5.

Subjetivo

50%. No tengo razones para creer que caerá de un lado más que del otro (principio de indiferencia).

1. Enfoque Clásico (Laplace)

Se basa en la simetría física. Asume que todos los resultados elementales tienen la misma probabilidad de ocurrir (equiprobabilidad).

P(A) = \frac{\text{Casos Favorables}}{\text{Casos Posibles}}

*Limitación: No sirve si el dado está trucado o si los resultados no son simétricos (ej. llover vs no llover).

2. Enfoque Frecuentista

Se basa en la experimentación. La probabilidad es el valor al que se estabiliza la frecuencia relativa tras repetir el experimento muchas veces.

P(A) = \lim_{N \to \infty} \frac{n_A}{N}

*Fundamento: Ley de los Grandes Números. Solo sirve para eventos repetibles (no sirve, por ejemplo, para el resultado de unas elecciones concretas).

3. Enfoque Subjetivo (Bayesiano)

Se basa en el conocimiento e información. Es el grado de creencia racional que tiene una persona sobre la ocurrencia de un evento.

Creencia inicial, actualizada con la nueva evidencia

*Uso: Inteligencia Artificial, toma de decisiones empresariales, eventos únicos.

Analogía: ¿Lloverá mañana?

El Clásico dice:"Hay dos opciones: llueve o no llueve. Así que 50%."
ERROR: No son equiprobables.

El Frecuentista dice:"He revisado los últimos 100 años para este día exacto. Llovió en 20 de ellos. Probabilidad: 20%."

El Subjetivo dice:"El histórico dice 20%, pero veo nubes negras ahora mismo (nueva evidencia). Ajusto mi predicción al 80%."

Ejemplo resuelto

La tapa de botella

El grupo de Mateo quiere saber si una tapa plástica de botella cae boca arriba la mitad de las veces. ¿Cómo puede diseñar el experimento? Si en 200 lanzamientos cae boca arriba 68 veces (datos hipotéticos), ¿qué puede concluir?

1
La pregunta
Cuánto vale P(boca arriba).
2
El experimento y sus condiciones
Lanzar la tapa y anotar cómo cae. Siempre la misma tapa, desde un metro de altura y sobre el mismo piso.
3
Las repeticiones, decididas antes
200 lanzamientos, repartidos entre cuatro personas, sin borrar ninguno.
4
La frecuencia
$f = \frac{68}{200} = 0{,}34$
5
La conclusión
La tapa no se comporta como una moneda: sus dos lados no son iguales, y la regla de Laplace no servía. Con 200 lanzamientos, 0,34 está lejos de 0,5; con más lanzamientos lo podrían confirmar.

Ejemplo de la sección 9.8 del libro «Matemáticas para un mundo sostenible».

Práctica

Ejercicio 1: Enfoque Clásico vs Frecuentista (El Dado Sospechoso)

Un laboratorio de auditoría analiza un dado cúbico de 6 caras. Se lanzan n = 1.000 tiradas independientes y se registra la cara '6' en exactamente 500 ocasiones.

¿Cuál es el contraste entre la probabilidad teórica a priori (clásica) y la empírica observada (frecuentista), y qué deduce un estadístico?

Reto tipo PISA: Misión Interplanetaria y la Epistemología Subjetiva

Una agencia aeroespacial internacional evalúa la tasa de éxito de la primera expedición humana hacia Marte. Un analista junior sugiere: 'Como el viaje puede tener éxito o fracasar, por el enfoque clásico la probabilidad es del 50%'. Otro propone: 'Debemos enviar 1.000 misiones de prueba idénticas para medir la frecuencia relativa antes de mandar astronautas'.

¿Por qué aquí el enfoque bayesiano (subjetivo) es el más adecuado para estimar el riesgo de esta misión?

Ejercicio 3: La danta en las cámaras

De los 363 registros de mamíferos de las cámaras trampa del caño Teracay, 54 fueron de danta. Hubo 16 especies distintas.

¿Qué probabilidad tiene más sentido para que el próximo registro sea de danta?

Ejercicio 4: Pocos lanzamientos

En los primeros 10 lanzamientos de la simulación del libro, el 6 salió 2 veces: frecuencia 0,2.

¿Qué se puede concluir?

Ejercicio 5 (tipo Saber 11): La regla de Laplace

Se lanza un dado justo.

¿Cuál es la probabilidad de que salga un número mayor que 4?

Ejercicio 6: ¿Qué enfoque es?

Una estación meteorológica revisa los registros de lluvia de muchos años y encuentra que, en octubre, llovió en 2 de cada 3 días (datos hipotéticos).

¿Qué enfoque de la probabilidad usa?