3.2 Álgebra de Sucesos

Domina las operaciones fundamentales para combinar eventos: uniones, intersecciones y diferencias.

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Situación real

Mujer o desocupada

En la fuerza de trabajo de Colombia había 26.479 mil personas: 11.419 mil mujeres y 2.249 mil personas desocupadas, de las cuales 1.199 mil eran mujeres. Si se escoge una persona al azar, ¿qué tan probable es que sea mujer o esté desocupada?

«Mujer» y «desocupada» son eventos: conjuntos de personas. Para combinarlos (o, y, no) se usa el álgebra de conjuntos, con una trampa: lo que está en los dos no se puede contar dos veces.

Fuente: DANE, Gran Encuesta Integrada de Hogares, junio a agosto de 2026 (tabla de la sección 17.1 del libro «Matemáticas para un mundo sostenible»).

Un diagrama de Venn a escala

Momento animado

La unión cuenta dos veces lo que comparten

Dale «Reproducir» y mira qué pasa con la parte que comparten los dos círculos.

Ω: fuerza de trabajo, 26.479 mil (a escala)
0%
Etapas

Etapa 1 de 6 · Ω

El rectángulo es la fuerza de trabajo de Colombia (DANE, junio a agosto de 2026): 26.479 mil personas. Todas las áreas están a escala.

La cuenta (miles)

11.419 ÷ 26.479

P(M)

0,431

del total

Probabilidad de la unión
P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B)P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)

Se resta la intersección porque se contó dos veces. Si A y B son excluyentes (no se cruzan), P(A ∩ B) = 0 y la unión es la suma.

Ejemplo resuelto

Roedores y ungulados

Se escoge al azar uno de los 363 registros de las cámaras del Vichada. R: «es de un roedor» (guatín negro 136, lapa 101, ardilla 8) y U: «es de un ungulado», un animal con pezuñas (danta 54, cafuche 22, venado 1). ¿Son excluyentes? ¿Cuánto vale P(R ∪ U) y P((R ∪ U)ᶜ)?

  1. 1

    Cuenta cada evento

    ∣R∣=136+101+8=245∣U∣=54+22+1=77\begin{gathered} |R| = 136 + 101 + 8 = 245 \\ |U| = 54 + 22 + 1 = 77 \end{gathered}
  2. 2

    ¿Se cruzan?

    Ningún animal es a la vez roedor y ungulado: R ∩ U = ∅. Son excluyentes, así que la unión es la suma.
  3. 3

    La unión

    P(R∪U)=245+77363=322363≈0,887\begin{aligned} P(R \cup U) &= \frac{245 + 77}{363} \\ &= \frac{322}{363} \approx 0{,}887 \end{aligned}
  4. 4

    El complemento

    Los registros que no son de roedor ni de ungulado: 363 − 322 = 41 (armadillos, osos, felinos y los demás).
    P((R∪U)c)=1−322363=41363≈0,113\begin{aligned} P\big((R \cup U)^c\big) &= 1 - \frac{322}{363} \\ &= \frac{41}{363} \approx 0{,}113 \end{aligned}

Ejemplo de la sección 9.5 del libro «Matemáticas para un mundo sostenible», con datos del Instituto Humboldt. Cuentas verificadas con sympy.

Laboratorio

Venn: visualizando la lógica

Toca una operación y mira qué región queda sombreada.

ABE

Unión (A ∪ B)

Ocurre A, ocurre B o ambos: todo lo sombreado.

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)

Operaciones Básicas

  • ∪
    Unión (La "O" Inclusiva)

    A∪BA \cup B. Ocurre si pasa A, si pasa B, o si pasan ambos. Es la suma de todo.

  • ∩
    Intersección (La "Y" Simultánea)

    A∩BA \cap B. Ocurre solo si ambos eventos suceden al mismo tiempo.

Operaciones de Exclusión

  • -
    Diferencia (Solo A)

    A−BA - B. Ocurre A y NO ocurre B. Es como recortarle un mordisco al círculo A.

  • '
    Complemento (Lo opuesto)

    AcA^c o Aˉ\bar{A}. Todo lo que no es A. Si A es "sacar par", A' es "sacar impar".

Concepto Clave: Sucesos Incompatibles (Disjuntos)

Dos sucesos son incompatibles si no pueden ocurrir a la vez. Su intersección es el conjunto vacío (∅\emptyset).

Si A∩B=∅A \cap B = \emptyset, entonces P(A∪B)=P(A)+P(B)P(A \cup B) = P(A) + P(B)

Práctica

Ejercicio 1: Diferencia de Conjuntos y Probabilidad Clásica
En un grupo de 30 estudiantes universitarios: 20 hablan inglés fluido (A), 15 hablan francés fluido (B), y 10 dominan ambos idiomas (A ∩ B). Se elige un estudiante al azar.
¿Cuál es la probabilidad de seleccionar un estudiante que hable ÚNICAMENTE inglés (A − B)?
Reto tipo PISA: Control de Calidad y la Falacia de la Doble Contabilidad
En la línea de ensamblaje de una planta de componentes microelectrónicos, la probabilidad de defecto en el circuito integrado es P(A) = 0,05 y la probabilidad de defecto en el sensor óptico es P(B) = 0,05. El supervisor de planta afirma ante la junta directiva: 'Dado que ambos componentes fallan al 5%, exactamente el 10% de nuestra producción sale defectuosa'.
¿Bajo qué estricta condición axiomática de la teoría de conjuntos y probabilidades sería matemáticamente veraz la declaración del supervisor?
Ejercicio 3: Tanque o sin acueducto
En una vereda hay 200 hogares (datos hipotéticos): 80 tienen un tanque para recoger agua lluvia, 70 no tienen acueducto y 50 tienen tanque y no tienen acueducto.
Si se escoge un hogar al azar, ¿cuál es la probabilidad de que tenga tanque o no tenga acueducto?
Ejercicio 4: No es roedor
De los 363 registros de las cámaras del Vichada, 245 son de roedores, 77 de ungulados y el resto de otros mamíferos.
¿Cuál es la probabilidad de que un registro escogido al azar NO sea de un roedor?
Ejercicio 5 (tipo Saber 11): Roedor o ungulado
De los 363 registros de las cámaras, 245 son de roedores y 77 de ungulados. Ningún animal es a la vez roedor y ungulado.
¿Cuál es la probabilidad de que un registro escogido al azar sea de un roedor o de un ungulado?
Ejercicio 6: Mujer y desocupada
Con la tabla del DANE (en miles): 26.479 personas en la fuerza de trabajo, 11.419 mujeres, 2.249 desocupadas y 1.199 mujeres desocupadas.
¿Cuál es la probabilidad de que una persona escogida al azar sea mujer y esté desocupada?