2.9 Coeficiente de Determinación (R²)

Situación real

¿Cuánto de la temperatura explica la altitud?

Las temperaturas medias de las 14 capitales con estación del IDEAM son muy distintas: de 13,1 °C en Pasto a 29,4 °C en Barranquilla. Una parte grande de esas diferencias viene de la altitud. Pero no toda: Medellín es 2,74 °C más cálida de lo que dice la recta.

¿Qué parte de las diferencias explica la altitud? El coeficiente de determinación, R², lo dice con un número: para las capitales vale 0,963. La recta explica el 96,3% de la variación; el 3,7% restante queda en los residuos.

Fuente: IDEAM, Normales Climatológicas Estándar 1991–2020 de las capitales; cálculos con los datos del capítulo 18 del libro «Matemáticas para un mundo sostenible».

Dos sumas de cuadrados

Con cinco capitales: primero los cuadrados alrededor del promedio (la variación total), después los cuadrados alrededor de la recta (lo que la recta no explica). R² compara las dos sumas.

Momento animado

Lo que la recta explica

Dale «Reproducir» y mira los cuadrados rojos: su área es el error al cuadrado de cada ciudad. Puedes pausar y mover la barra.

Capital
Recta
Residuo al cuadrado

Avance0%

Etapa 1 de 5 · Cinco capitales

Cada punto es una capital: su altitud y su temperatura media, según el IDEAM. Entre más arriba, más frío.

Pendiente b

0,00

°C por km

Suma de los cuadrados

0,00

de 144,8 con el promedio

Laboratorio

¿Qué tanto explica la recta?

Mueve $r$ : las rayas rojas son los residuos, lo que la recta no explica. $R^2 = r^2$ no tiene signo.

Datos $(x_i, y_i)$
Recta de mínimos cuadrados
Residuos

Correlación $r$

+0,80

Determinación $R^2$

64%

Pendiente $m$

0,76

Explicada: 64%Residuos: 36%

Coeficiente de correlaciónr = +0,80

La recta explica el 64% de la variación de y. El 36% restante queda en los residuos: lo que la recta no explica.

Descomponiendo la Realidad

La variabilidad total de tus datos ( $SS_{total}$ ) se divide en dos trozos:

AJUSTE
Lo que explica el modelo: La parte de los datos que sigue la línea recta.
RESIDUO
Lo que se pierde (Error): La diferencia entre el dato real y la línea.

Fórmula Maestra

R^2 = 1 - \frac{SS_{residual}}{SS_{total}}

En regresión simple

R^2 = (r)^2

0,0 a 0,3

Pobre. El modelo apenas sirve. La variable X no explica casi nada de Y.

0,3 a 0,7

Moderado. Existe relación, pero hay muchos otros factores influyendo.

0,7 a 1,0

Fuerte. El modelo es muy fiable y explica la mayoría de los cambios.

Ejemplo resuelto

R² de las 14 capitales

Para las 14 capitales del IDEAM, la suma de los cuadrados de las desviaciones de la temperatura respecto a su promedio es 436,28, y la suma de los cuadrados de los residuos de la recta de regresión es 16,21. Halla R² y compáralo con r = −0,981.

1
La variación total
Es lo que fallaría predecir el promedio para todas las capitales.
$SS_{\text{total}} = 436{,}28$
2
Lo que la recta no explica
$SS_{\text{residual}} = 16{,}21$
3
R²
$R^2 = 1 - \frac{16{,}21}{436{,}28} \approx 0{,}963$
4
Comprueba con r
$r^2 = (-0{,}981)^2 \approx 0{,}963$
5
La lectura
La recta de la altitud explica el 96,3% de la variación de la temperatura media entre las capitales. R² no tiene signo: no dice si la relación sube o baja; eso lo dice r.

Cálculos con los datos del IDEAM del capítulo 18 del libro «Matemáticas para un mundo sostenible», verificados con sympy.

Práctica

Ejercicio 1: De la Correlación r al Coeficiente de Determinación R²

Un estudio en neurociencia cognitiva entre horas de descanso X y agudeza mental Y reporta un coeficiente de correlación lineal r = 0,80.

¿Qué proporción de la variabilidad del rendimiento cognitivo es explicada por el descanso, y cuánto porcentaje queda atribuido a factores residuales no modelados?

Reto tipo PISA: La Falacia de la Causalidad y Variables Confusoras

Un tabloide sensacionalista divulga: '¡Estudio confirma que comer helado destruye la vista! Se encontró un coeficiente de determinación R² = 0,98 entre las ventas de helados y el número de personas que compran gafas de sol en la ciudad'.

Como consultor estadístico principal, ¿cuál es el dictamen metodológico riguroso frente a esta conclusión?

Ejercicio 3: De r a R²

En una regresión lineal simple, el coeficiente de correlación es r = −0,8.

¿Cuánto vale R²?

Ejercicio 4: Con las sumas de cuadrados

En una regresión, la suma de los cuadrados alrededor del promedio es 200 y la suma de los cuadrados de los residuos es 50.

¿Cuánto vale R²?

Ejercicio 5 (tipo Saber 11): ¿Qué dice R² = 0,963?

Para la temperatura media y la altitud de las 14 capitales del IDEAM, R² = 0,963.

¿Qué afirmación es correcta?

Ejercicio 6: Los días de lluvia

Para los días de lluvia y la lluvia anual de las 14 capitales, r ≈ 0,863.

¿Qué parte de la variación de la lluvia anual explica la recta de los días de lluvia?