2.8 Predicción y Pronóstico

Aprende a usar tu modelo para estimar valores futuros y conoce los límites de la extrapolación.

Estudiar en la plataforma interactiva

Situación real

¿A qué altitud empieza a helar?

Cuando la temperatura de una noche baja de 0 °C, el agua se congela: hay una helada, y puede dañar los cultivos de papa o de flores. El IDEAM publica la temperatura mínima media de cada capital, el promedio de la temperatura más baja de cada día.

Ninguna de las 14 capitales llega a 0 °C: la más fría de noche es Bogotá, con 8,33 °C. ¿Se puede usar una recta para saber a qué altitud llegaría? Sí, pero hay que decir cuándo la recta tiene datos que la respalden y cuándo ya no.

Fuente: IDEAM, Normales Climatológicas Estándar 1991–2020 de las capitales (taller de la sección 18.9 del libro «Matemáticas para un mundo sostenible»).

Dentro y fuera de los datos

Momento animado

La recta se sale de sus datos

Dale «Reproducir» y sigue el punto: primero dentro de los datos, después fuera.

01.0002.00001020°Caltitud (m)hay datos
  • Capital
  • Recta con datos
  • Recta sin datos
0%
Etapas

Etapa 1 de 5 · Las noches

Las 14 capitales y su temperatura mínima media, la de las noches. La recta ŷ ≈ 24,45 − 0,00567x baja unos 5,7 °C por cada 1.000 m. Los datos van de 2 m (Cartagena) a 2.710 m (Pasto).

Altitud

—

datos de 2 a 2.710 m

Mínima predicha

—

r = −0,989

Antes de creerle a una predicción

Predecir es reemplazar xx en la recta y^=a+bx\hat{y} = a + bx. La cuenta es fácil; lo difícil es saber si el número sirve. Revisa que:

  1. la nube tenga forma de recta y ∣r∣|r| esté cerca de 1;
  2. el valor de xx esté dentro del rango de los datos, o muy cerca: eso es interpolar. Usar la recta fuera de ese rango es extrapolar, y hace falta una razón (por ejemplo, física) para creer que la tendencia sigue;
  3. el caso que predices se parezca a los datos con los que se hizo la recta;
  4. digas con cuánto error: el error estándar SeS_e cuenta cuánto se equivoca la recta con los datos que sí conoce.

Lista de la sección 18.4 del libro «Matemáticas para un mundo sostenible».

Laboratorio

¿Cuánto hace de noche a esa altitud?

Mueve la altitud y lee la mínima media que predice la recta de las 14 capitales. Fíjate si estás dentro o fuera de los datos.

01.0002.0003.0004.00001020°Caltitud (m)hay datossin datos
  • Capital
  • Recta con datos
  • Recta sin datos
1.800 m

Altitud

1.800 m

interpolación

Mínima predicha

14,2 °C

con respaldo de datos

A 1.800 m la recta predice 14,2 °C. Hay capitales más abajo y más arriba: es una interpolación, con el respaldo de los datos.

Ejemplo resuelto

¿A 1.500 m o a 4.000 m?

Con la recta de la temperatura media de las 14 capitales, ŷ = 28,35 − 0,00538x (x en metros), predice la temperatura media a 1.500 m y a 4.000 m. ¿Cuál de las dos predicciones es más confiable?

  1. 1

    Reemplaza x = 1.500

    Multiplica primero y después resta.
    y^=28,35−0,00538⋅1 500≈20,3\hat{y} = 28{,}35 - 0{,}00538 \cdot 1\,500 \approx 20{,}3
  2. 2

    ¿Dónde cae 1.500 m?

    Los datos van de 2 a 2.710 m, y hay capitales cerca, como Bucaramanga (1.189 m) y Medellín (1.492 m). Es una interpolación: con r ≈ −0,98 y residuos casi todos menores de 1,2 °C, la predicción es razonable. Medellín muestra que un lugar concreto se puede apartar unos 3 °C.
  3. 3

    Reemplaza x = 4.000

    y^=28,35−0,00538⋅4 000≈6,8\hat{y} = 28{,}35 - 0{,}00538 \cdot 4\,000 \approx 6{,}8
  4. 4

    ¿Dónde cae 4.000 m?

    Casi 1.300 m por encima de Pasto, la estación más alta. Es una extrapolación: la física dice que el aire se sigue enfriando al subir, así que el valor es plausible, pero estos datos no lo pueden confirmar.
  5. 5

    Concluye

    La de 1.500 m es más confiable. La de 4.000 m se puede decir, pero avisando que es una extrapolación.

Ejemplo de la sección 18.4 del libro «Matemáticas para un mundo sostenible».

Práctica

Ejercicio 1: Reemplazar en la recta
El costo anual de mantenimiento de una moto, en miles de pesos, según sus años de uso x, sigue la recta ŷ = 500 + 120x (datos hipotéticos).
¿Cuál es el costo estimado para una moto de 4 años?
Ejercicio 2: ¿Interpolar o extrapolar?
La recta de las 14 capitales se hizo con estaciones de 2 a 2.710 m de altitud.
¿Qué es usarla para predecir la temperatura de un municipio a 2.000 m y de otro a 3.500 m?
Ejercicio 3 (tipo Saber 11): ¿Dónde hiela?
La recta de la temperatura mínima media de las 14 capitales es ŷ ≈ 24,45 − 0,00567x, con x en metros. La capital más alta es Pasto, a 2.710 m.
¿A qué altitud predice la recta una mínima media de 0 °C, y qué tan confiable es?
Ejercicio 4: Lo que no hace falta
Antes de creerle a una predicción hecha con una recta de regresión, se revisan varias cosas.
¿Cuál de estas condiciones NO hace falta?
Ejercicio 5 (tipo PISA): Otro país, la misma altitud
La recta de las 14 capitales colombianas predice unos 17,6 °C de temperatura media a 2.000 m. Alguien la usa para un pueblo a 2.000 m en un país lejos del trópico.
¿Qué le dirías?
Ejercicio 6: Los 100 metros en cero segundos
La marca ganadora de los 100 metros planos en los Juegos Olímpicos pasó de 11,0 s en 1900 a 9,80 s en 2020: unos 1,2 s en 120 años. Si se sigue esa recta, hacia el año 3000 la marca sería 0 segundos, y después, negativa.
¿Qué error comete quien dice que hacia el año 3000 se correrán los 100 m en 0 segundos?