2.7 Error Estándar de la Estimación

Situación real

¿Cuánto le creo a la recta?

Con las 14 capitales del IDEAM, la recta ŷ = 28,35 − 0,00538x predice 20,3 °C para un municipio a 1.500 m. Medellín está a 1.492 m, casi a la misma altitud, y su temperatura media es 23,06 °C: 2,74 °C más de lo que dice la recta.

Antes de usar una predicción, hay que saber de cuánto se suele equivocar la recta. Ese tamaño típico del error tiene nombre: el error estándar de la estimación, $S_e$ .

Fuente: IDEAM, Normales Climatológicas Estándar 1991–2020 de las capitales (sección 18.4 del libro «Matemáticas para un mundo sostenible»).

De 14 residuos a un solo número

Momento animado

¿De cuánto se equivoca la recta?

Dale «Reproducir» y mira qué pasa con los residuos de las 14 capitales.

Avance0%

Etapa 1 de 5 · La recta

Las 14 capitales del IDEAM y su recta de mínimos cuadrados: ŷ = 28,35 − 0,00538x.

Error estándar Sₑ

aparece al resumir

Dentro de ±Sₑ

aparece con la banda

La fórmula

S_e = \sqrt{\frac{\sum (y_i - \hat{y}_i)^2}{n - 2}}

Se parece a la desviación estándar, con dos diferencias:

1Usa los residuos $(y - \hat{y})$ , la distancia de cada punto a la recta, en lugar de la distancia al promedio.
2Divide entre $n-2$ (los grados de libertad): la recta usó dos números calculados con los mismos datos, el corte $a$ y la pendiente $b$ .

$S_e$ queda en las mismas unidades de $y$ : en grados, si se predicen temperaturas; en minutos, si se predicen tiempos.

Laboratorio

¿Y si Medellín fuera más fría o más caliente?

Mueve la temperatura de Medellín (la real es 23,06 °C) y mira la recta, los residuos y el error estándar de las 14 capitales.

Temperatura de Medellín23,06 °C

Error estándar Sₑ

1,16 °C

con Medellín real: 1,16 °C

Residuo de Medellín

+2,74 °C

pendiente: −5,38 °C por 1.000 m

Así es Medellín de verdad: su residuo, +2,74 °C, es el más grande de las 14, y Sₑ = 1,16 °C.

¿Para qué sirve?

Para decir una predicción con su margen. Si hay muchos datos y los residuos se reparten como una campana (la distribución normal), se cumple más o menos la regla empírica:

68%

de los puntos queda a menos de $1\,S_e$ de la recta.

95%

de los puntos queda a menos de $2\,S_e$ de la recta.

Con las 14 capitales: 12 de 14 (86%) quedan a menos de 1,16 °C de la recta y 13 de 14 (93%) a menos de 2,32 °C. Con tan pocos datos, los porcentajes no tienen por qué coincidir con los de la regla: es una guía, no una garantía.

Ejemplo resuelto

Las cinco capitales

Con cinco capitales y sus datos redondeados, Cartagena (0 km; 28 °C), Villavicencio (0,4 km; 26 °C), Cali (1 km; 24 °C), Manizales (2,1 km; 17 °C) y Bogotá (2,5 km; 14 °C), la recta de mínimos cuadrados es ŷ = 28,48 − 5,56x. Calcula el error estándar de la estimación.

1
Predice cada capital
Reemplaza la altitud en la recta. Por ejemplo, Cali:
$\hat{y} = 28{,}48 - 5{,}56 \cdot 1 = 22{,}92$
2
Resta para el residuo
Cali es 1,08 °C más cálida de lo que predice la recta: su residuo es positivo.
$e = y - \hat{y} = 24 - 22{,}92 = 1{,}08$
3
Eleva al cuadrado y suma
La tabla de abajo tiene los cinco residuos y sus cuadrados, con ŷ redondeado a centésimas.
$\sum e^2 = 1{,}8408$
4
Divide entre n − 2 y saca la raíz
Son 5 capitales, así que n − 2 = 3.
$S_e = \sqrt{\frac{1{,}8408}{3}} = \sqrt{0{,}6136} \approx 0{,}78$
5
Interpreta
Con estas cinco capitales, la recta se equivoca típicamente en unos 0,8 °C. Cali es la que más se aparta.

Los cinco residuos
Capital	y	ŷ	e	e²
Cartagena	28	28,48	−0,48	0,2304
Villavicencio	26	26,26	−0,26	0,0676
Cali	24	22,92	1,08	1,1664
Manizales	17	16,80	0,20	0,0400
Bogotá	14	14,58	−0,58	0,3364
Suma				1,8408

Datos del ejemplo de la sección 18.2 y recta de la sección 18.4 del libro «Matemáticas para un mundo sostenible». El cálculo de Sₑ es nuevo.

Práctica

Ejercicio 1: Calcular Sₑ

Una recta de regresión se ajustó con n = 5 datos. La suma de los cuadrados de los residuos es 27.

¿Cuál es el error estándar de la estimación?

Ejercicio 2: Leer Sₑ

Con las 14 capitales del IDEAM, el error estándar de la recta de la temperatura según la altitud es Sₑ ≈ 1,16 °C.

¿Qué quiere decir?

Ejercicio 3: ¿Por qué n − 2?

En la fórmula de Sₑ, la suma de los cuadrados de los residuos se divide entre n − 2.

¿De dónde sale ese 2?

Ejercicio 4 (tipo PISA): ¿r o Sₑ?

Dos modelos predicen cuánto se demora el bus de tu casa al colegio (datos hipotéticos). El modelo A tiene r = 0,90 y Sₑ = 15 minutos; el modelo B tiene r = 0,85 y Sₑ = 5 minutos. Necesitas llegar a tiempo.

¿Con cuál modelo planeas la hora de salida?

Ejercicio 5 (tipo Saber 11): El modelo de la tierra caliente

Un modelo aprendió solo de las 8 capitales que están por debajo de 1.000 m (de 2 a 970 m): ŷ ≈ 27,92 − 0,00429x, con Sₑ ≈ 0,97 °C. Para Bogotá, a 2.547 m, predice 17,0 °C; la temperatura real es 13,93 °C.

¿Por qué se equivoca en 3 °C, más del triple de su Sₑ?

Ejercicio 6: Una predicción con su margen

La recta de las 14 capitales predice 20,3 °C para un municipio hipotético a 1.500 m. Su error estándar es Sₑ ≈ 1,16 °C.

¿Cuál es la forma más honesta de decir la predicción?