2.6 Rectas de Regresión | Probabilidad y Estadística

Situación real

¿Qué temperatura hace a 1.800 metros?

El IDEAM mide la temperatura en estaciones de todo el país. En las 14 capitales con estación, entre más alta la ciudad, más fría: Barranquilla, a 14 m sobre el nivel del mar, tiene una temperatura media de 29,4 °C; Bogotá, a 2.547 m, de 13,9 °C.

Tu familia piensa ir de paseo a un municipio a 1.800 m donde no hay estación. ¿Qué temperatura esperar? Los puntos de las capitales casi forman una recta, pero ninguna recta pasa por todos. ¿Cuál es la que pasa más cerca de todos a la vez?

Fuente: IDEAM, Normales Climatológicas Estándar 1991–2020 de las capitales y Catálogo Nacional de Estaciones (datos del capítulo 18 del libro «Matemáticas para un mundo sostenible»).

¿Qué quiere decir «más cerca»?

Para cada ciudad, el residuo es lo que falla la recta: la temperatura real menos la que predice, $e = y - \hat{y}$ . Si el punto queda arriba de la recta, el residuo es positivo; si queda abajo, negativo. Los residuos se elevan al cuadrado para que los negativos no borren a los positivos, y la mejor recta es la que deja la suma de esos cuadrados más pequeña. Mírala buscarse sola:

Momento animado

La recta que deja los cuadrados más pequeños

Dale «Reproducir» y mira los cuadrados rojos: su área es el error al cuadrado de cada ciudad. Puedes pausar y mover la barra.

Capital
Recta
Residuo al cuadrado

Avance0%

Etapa 1 de 5 · Cinco capitales

Cada punto es una capital: su altitud y su temperatura media, según el IDEAM. Entre más arriba, más frío.

Pendiente b

0,00

°C por km

Suma de los cuadrados

0,00

de 144,8 con el promedio

La recta de mínimos cuadrados

El fondo de la parábola se puede calcular sin girar nada. Para la recta $\hat{y} = a + bx$ :

Pendiente y corte

b = \frac{S_{xy}}{S_x^2} \qquad a = \bar{y} - b\,\bar{x}

La pendiente es la covarianza dividida entre la varianza de x. El corte sale de que la recta pasa por el punto promedio (x̄, ȳ).

Por eso, en el momento animado, la recta giraba sobre $(\bar{x}, \bar{y})$ : subirla o bajarla desde ese punto solo agrega error. Y como pasa por el promedio, sus residuos siempre suman cero: unos puntos quedan arriba y otros abajo.

Ejemplo resuelto

La recta de cinco capitales

Con la altitud $x$ en kilómetros y la temperatura media $y$ en °C (datos redondeados), halla la recta de regresión de Cartagena, Villavicencio, Cali, Manizales y Bogotá, y di qué significa su pendiente.

Desviaciones respecto a las medias
Ciudad	x (km)	y (°C)	x − x̄	y − ȳ	producto	(x − x̄)²
Cartagena	0,0	28	−1,2	6,2	−7,44	1,44
Villavicencio	0,4	26	−0,8	4,2	−3,36	0,64
Cali	1,0	24	−0,2	2,2	−0,44	0,04
Manizales	2,1	17	0,9	−4,8	−4,32	0,81
Bogotá	2,5	14	1,3	−7,8	−10,14	1,69
Suma	6,0	109	0	0	−25,70	4,62

1
Las medias
Se suman las columnas y se dividen entre 5.
$\begin{gathered} \bar{x} = \frac{6{,}0}{5} = 1{,}2 \text{ km} \\ \bar{y} = \frac{109}{5} = 21{,}8\ ^{\circ}\text{C} \end{gathered}$
2
La covarianza y la varianza de x
Se divide la suma de los productos y la de los cuadrados entre 5.
$\begin{gathered} S_{xy} = \frac{-25{,}70}{5} = -5{,}14 \\ S_x^2 = \frac{4{,}62}{5} = 0{,}924 \end{gathered}$
3
La pendiente
$b = \frac{S_{xy}}{S_x^2} = \frac{-5{,}14}{0{,}924} \approx -5{,}563$
4
El corte
La recta pasa por el punto promedio (1,2; 21,8).
$\begin{aligned} a &= \bar{y} - b\,\bar{x} \\ &= 21{,}8 - (-5{,}563)(1{,}2) \\ &\approx 28{,}48 \end{aligned}$
5
La recta y su lectura
Según el modelo, la temperatura media baja unos 5,6 °C por cada kilómetro de altitud, y a nivel del mar sería de unos 28,5 °C.
$\hat{y} = 28{,}48 - 5{,}56\,x$

Ejemplo de las secciones 18.2 y 18.4 del libro «Matemáticas para un mundo sostenible», con datos del IDEAM. Cuentas verificadas con sympy.

Ahora tú, con las 14 capitales

Con las 14 estaciones y la altitud en metros, la cuenta da $\hat{y} = 28{,}35 - 0{,}00538\,x$ . Intenta encontrarla a mano: cada segmento rojo es un residuo.

Laboratorio

¿Le ganas a los mínimos cuadrados?

Las 14 capitales del IDEAM. Mueve tu recta: cada segmento rojo es un residuo. Intenta dejar la suma de sus cuadrados lo más baja posible.

Capital
Tu recta
Residuo

Tu suma de cuadrados

99,1

de los 14 residuos, en °C²

La menor posible

16,21

la de mínimos cuadrados (r = −0,981)

Pendiente: °C por cada 1.000 m−3,0

Temperatura a 0 m (corte a)26,0 °C

Tu recta deja 99,1; la mejor posible deja 16,21: es unas 6 veces la mínima. Mueve la pendiente y la altura hasta que los segmentos rojos queden cortos y repartidos arriba y abajo.

¿Hasta dónde predice la recta?

Los datos van de 2 m (Cartagena) a 2.710 m (Pasto). Usar la recta dentro de ese rango es interpolar; usarla por fuera es extrapolar.

Interpolar: a 1.500 m

La recta da 28,35 − 0,00538 · 1.500 ≈ 20,3 °C. Hay estaciones cerca (Bucaramanga y Medellín) y los residuos son casi todos menores de 1,2 °C: es una predicción razonable.

Extrapolar: a 4.000 m

La recta da 28,35 − 0,00538 · 4.000 ≈ 6,8 °C, casi 1.300 m por encima de la estación más alta. La física dice que el aire se sigue enfriando al subir, pero estos datos no lo pueden confirmar.

Práctica

Ejercicio 1: Construcción de la Ecuación MCO (Mínimos Cuadrados)

Un análisis comercial reporta: Inversión publicitaria X (x̄ = 10, Var(X) = 4), Ventas obtenidas Y (ȳ = 50) y covarianza conjunta

S_{xy} = 12

¿Cuál es la ecuación de la recta de regresión lineal simple ŷ = a + bx que modela las ventas en función de la publicidad?

Reto tipo PISA: El Peligro Crítico de la Extrapolación Lejana

Un modelo empírico ajustó la temperatura superficial promedio terrestre con datos satelitales entre 1980 y 2020 obteniendo un coeficiente r² = 0,95. Al proyectar la ecuación lineal hasta el año 3000, el modelo predice una temperatura media global de 150 °C, incompatible con el agua líquida y la vida orgánica.

¿Qué juicio crítico y metodológico fundamenta la validez de esta predicción?

Ejercicio 3: El residuo de un punto

Para los puntos (1, 2), (2, 4), (3, 5), (4, 4) y (5, 5), la recta de mínimos cuadrados es ŷ = 2,2 + 0,6x.

¿Cuál es el residuo del punto (4, 4)?

Ejercicio 4: La recta a partir de r

Para dos variables, r = 0,8; la desviación estándar de x es 2 y la de y es 5; las medias son x̄ = 10 y ȳ = 30. La pendiente también se puede calcular como

b = r \cdot \frac{S_y}{S_x}

¿Cuál es la recta de regresión de y sobre x?

Ejercicio 5 (tipo Saber 11): Un municipio a 1.800 m

Con las 14 capitales del IDEAM, que van de 2 m a 2.710 m de altitud, la recta de regresión es ŷ = 28,35 − 0,00538x, con x en metros y ŷ en °C.

¿Qué temperatura media predice la recta para un municipio a 1.800 m, y qué tipo de predicción es?

Ejercicio 6: Un modelo que solo conoció el Caribe

Un programa aprendió una recta con solo tres estaciones del Caribe: Cartagena (2 m; 28,04 °C), Barranquilla (14 m; 29,40 °C) y Riohacha (15 m; 28,42 °C). Su recta es ŷ ≈ 27,95 + 0,0646x, y para Bogotá, a 2.547 m, predice unos 192 °C.

¿Qué falló?