2.5 Coeficiente de Pearson (r) | Probabilidad y Estadística

Situación real

¿Qué tan cerca es «casi»?

En las 14 capitales con estación del IDEAM, la altitud y la temperatura media caen casi sobre una recta: entre más alta la ciudad, más fría. Pero «casi» no es un número. ¿Qué tan cerca de la recta están? ¿Y cómo se compara esa relación con la de los días de lluvia y la lluvia que cae en el año?

El coeficiente de correlación de Pearson lo dice con un número entre −1 y 1. Para la altitud y la temperatura vale −0,981; para los días de lluvia y la lluvia anual, 0,863; y para la altitud y los días de lluvia, −0,034: prácticamente ninguna relación lineal.

Fuente: IDEAM, Normales Climatológicas Estándar 1991–2020 de las capitales (datos y cálculos del capítulo 18 del libro «Matemáticas para un mundo sostenible»).

De dónde sale r

La idea es mirar, para cada punto, si está a la derecha o a la izquierda del promedio de $x$ , y arriba o abajo del promedio de $y$ . Mírala moverse:

Momento animado

De los rectángulos a r

Dale «Reproducir»: cada capital deja un rectángulo, y el signo de su área dice hacia dónde va la relación.

Capital
Producto negativo
Producto positivo

Avance0%

Etapa 1 de 6 · 14 capitales

Cada punto es una capital: su altitud y su temperatura media (IDEAM). A simple vista, al subir hace más frío. ¿Con qué número se mide eso?

Covarianza

—

suma de las áreas ÷ 14, en km·°C

Coeficiente r

aparece al quitar las unidades

La fórmula

Coeficiente de Pearson

r = \frac{S_{xy}}{S_x \cdot S_y}

La covarianza trae el signo; al dividir entre las dos desviaciones estándar se cancelan las unidades. Es el promedio de los productos cuando cada variable se mide en desviaciones estándar.

Si usas la covarianza y las desviaciones que dividen entre $n - 1$ , $r$ da exactamente lo mismo: los $n - 1$ se cancelan. Como guía, que no es una regla: con $|r| \ge 0{,}9$ se habla de una relación lineal muy fuerte; entre 0,7 y 0,9, fuerte; entre 0,4 y 0,7, moderada, y por debajo de 0,4, débil.

Ejemplo resuelto

El coeficiente a mano, con cinco capitales

Con la altitud $x$ en kilómetros y la temperatura media $y$ en °C (datos redondeados), calcula la covarianza y $r$ para Cartagena, Villavicencio, Cali, Manizales y Bogotá.

Desviaciones, productos y cuadrados (medias: 1,2 km y 21,8 °C)
Ciudad	x − x̄	y − ȳ	producto	(x − x̄)²	(y − ȳ)²
Cartagena	−1,2	6,2	−7,44	1,44	38,44
Villavicencio	−0,8	4,2	−3,36	0,64	17,64
Cali	−0,2	2,2	−0,44	0,04	4,84
Manizales	0,9	−4,8	−4,32	0,81	23,04
Bogotá	1,3	−7,8	−10,14	1,69	60,84
Suma	0	0	−25,70	4,62	144,80

1
La covarianza
El promedio de los productos. Todos son negativos: los cinco puntos están en los cuadrantes negativos.
$S_{xy} = \frac{-25{,}70}{5} = -5{,}14 \text{ km} \cdot {}^{\circ}\text{C}$
2
Las desviaciones estándar
$\begin{gathered} S_x = \sqrt{\frac{4{,}62}{5}} \approx 0{,}961 \text{ km} \\ S_y = \sqrt{\frac{144{,}8}{5}} \approx 5{,}381\ ^{\circ}\text{C} \end{gathered}$
3
El coeficiente
Las unidades se cancelan.
$r = \frac{-5{,}14}{0{,}961 \cdot 5{,}381} \approx -0{,}99$
4
La lectura
Es una relación negativa y muy fuerte: los cinco puntos están casi en línea recta, y al subir baja la temperatura.

Ejemplo de la sección 18.2 del libro «Matemáticas para un mundo sostenible», con datos del IDEAM. Cuentas verificadas con sympy.

r no depende de las unidades

Laboratorio

Cambia las unidades: r no se mueve

Pasa la estatura a metros o a milímetros. Mira qué le pasa a la covarianza y qué le pasa a $r$ .

Covarianza $S_{xy}$

71,25

cm · kg

Correlación $r$

0,958

sin unidades

Desviación $S_x$

10,07

Desviación $S_y$

7,39

$r = \frac{S_{xy}}{S_x \cdot S_y} = \frac{71{,}25}{10{,}07 \cdot 7{,}39} = 0{,}958$

Unidad de la estaturacentímetros

En centímetros la covarianza da 71,25 y r = 0,958. Cambia la unidad y compara.

Acotado

Siempre $-1 \le r \le 1$ . Si te sale 1,5, ¡revisa tus cálculos!

Adimensional

No tiene unidades. $r = 0{,}8$ es igual para dólares, kilos o años.

Solo Lineal

Solo detecta líneas rectas. Una parábola perfecta puede tener $r = 0$ .

Práctica

Ejercicio 1: Cálculo del Coeficiente r a partir de Parámetros Muestrales

Un estudio biométrico reporta: varianza del peso

S_x^2 = 16

, varianza de la altura

S_y^2 = 25

y covarianza conjunta

S_{xy} = 15

¿Cuál es el valor del coeficiente de correlación lineal de Pearson r y su interpretación cualitativa?

Reto tipo PISA: La Trampa de la No-Linealidad

Un laboratorio de microbiología analiza la tasa de replicación celular en función de la temperatura. El gráfico de dispersión revela una parábola perfecta en U invertida: a baja temperatura no proliferan, a temperatura media óptima la proliferación es máxima, y a altas temperaturas las células mueren. El software calcula r = 0,02.

¿Cuál es la conclusión metodológica rigurosa sobre la relación observada?

Ejercicio 3: r a mano

Para los pares (1, 2), (2, 4), (3, 5), (4, 4) y (5, 5), las medias son x̄ = 3 y ȳ = 4. Los productos de las desviaciones suman 6; los cuadrados de las desviaciones de x suman 10 y los de y suman 6.

¿Cuánto vale el coeficiente de correlación r?

Ejercicio 4 (tipo Saber 11): La relación más fuerte

Cuatro estudios encontraron estos coeficientes de correlación.

¿Cuál indica la relación lineal más fuerte?

Ejercicio 5: Tres puntos alineados

Los puntos (1, 5), (2, 3) y (3, 1) están sobre la recta y = 7 − 2x.

¿Cuánto vale r?

Ejercicio 6: De kilómetros a metros

Con la altitud en kilómetros, cinco capitales dan una covarianza de −5,14 km·°C y r ≈ −0,99. Ahora se escribe la altitud en metros, así que la covarianza pasa a −5.140 m·°C.

¿Cuánto vale r con la altitud en metros?