2.4 Covarianza | Probabilidad y Estadística

Situación real

¿Hacia dónde va la nube?

En las 14 capitales con estación del IDEAM, entre más alta la ciudad, más fría. ¿Cómo se dice eso con un número? La idea es mirar cada punto respecto al promedio: ¿está a la derecha o a la izquierda del promedio de altitud? ¿Arriba o abajo del promedio de temperatura?

Si la mayoría de los puntos están arriba a la izquierda (bajas y calientes) o abajo a la derecha (altas y frías), la relación es negativa. La covarianza lo convierte en una cuenta.

Fuente: IDEAM, Normales Climatológicas Estándar 1991–2020 de las capitales (sección 18.2 del libro «Matemáticas para un mundo sostenible»).

Un rectángulo por cada capital

Momento animado

El signo de la covarianza

Dale «Reproducir»: cada capital deja un rectángulo, y el signo de su área dice hacia dónde va la relación.

Capital
Producto negativo
Producto positivo

Avance0%

Etapa 1 de 4 · 14 capitales

Cada punto es una capital: su altitud y su temperatura media (IDEAM). A simple vista, al subir hace más frío. ¿Con qué número se mide eso?

Covarianza

—

suma de las áreas ÷ 14, en km·°C

Productos

—

negativos y positivos

El momento promedia entre $n$ , como el libro: −5,58 km·°C. La fórmula de esta lección divide entre $n - 1$ (la covarianza muestral) y da −6,01 km·°C con las mismas 14 capitales. Con $n$ o con $n - 1$ , el signo es el mismo.

Visualizando el Cálculo

La covarianza compara cada punto con las medias aritméticas ( $\bar{x}, \bar{y}$ ). Imagina que las medias dividen el plano en 4 cuadrantes. Explora cómo cada zona afecta al resultado final:

Interactúa

Lógica de Signos

Pasa el cursor sobre los cuadrantes para entender por qué la covarianza cambia de signo.

Cálculo de la Covarianza

1. Fórmula Estándar (Definición)

Se basa en el promedio de los productos de las desviaciones. Es la más intuitiva teóricamente.

cov(x, y) = S_{xy} = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})

2. Fórmula Computacional (Práctica)

Esta forma simplificada facilita los cálculos manuales al evitar restar la media en cada paso intermedio.

cov(x, y) = \frac{1}{n-1} \left( \sum_{i=1}^{n} x_iy_i - n\bar{x}\bar{y} \right)

Propiedades Clave

Relación con VarianzaLa covarianza de una variable consigo misma es su varianza: $cov(x, x) = s_x^2$ .
TransformacionesAfectada por la escala. Si multiplicas los datos por 10, la covarianza se multiplica por 100. $cov(ax, by) = ab \cdot cov(x,y)$ .

Analogía

"La covarianza es como un compás de baile entre dos personas: si ambos dan un paso adelante al mismo tiempo, su coordinación es positiva; si uno avanza mientras el otro retrocede, es negativa."

Ejemplo resuelto

La covarianza a mano

Calcula la covarianza muestral de los pares (1, 2), (2, 4), (3, 5), (4, 4) y (5, 5).

Las medias son 3 y 4
x	y	x − x̄	y − ȳ	producto
1	2	−2	−2	4
2	4	−1	0	0
3	5	0	1	0
4	4	1	0	0
5	5	2	1	2
Suma		0	0	6

1
Las medias
$\bar{x} = \frac{15}{5} = 3 \qquad \bar{y} = \frac{20}{5} = 4$
2
Los productos
Ningún producto es negativo: los puntos están en los cuadrantes positivos o sobre las líneas de los promedios.
3
La covarianza muestral
$S_{xy} = \frac{6}{5 - 1} = 1{,}5$
4
La lectura
Es positiva: cuando x crece, y tiende a crecer. Su tamaño, 1,5, depende de las unidades; para saber qué tan fuerte es la relación hace falta el coeficiente r (lección 2.5).

Pares de la sección 18.2 del libro «Matemáticas para un mundo sostenible» (allí se divide entre n y da 1,2). Cuentas verificadas con sympy.

Práctica

Ejercicio 1: Cálculo Procedimental de la Covarianza Muestral

Aplica la fórmula abreviada o por desvíos con la muestra de 3 pares de datos: (2, 10), (4, 20), (6, 30).

Dados los datos (X, Y): (2, 10), (4, 20) y (6, 30), ¿cuál es el valor exacto de la covarianza muestral cov(X, Y) aplicando el divisor muestral (n - 1)?

Reto tipo PISA: El Dilema de las Unidades de Medida

Un equipo internacional evalúa el vínculo entre horas de estudio y puntaje académico. País A reporta tiempo en horas (Cov = 2,5); País B reporta tiempo en minutos (Cov = 150) sobre una población equivalente.

¿Qué conclusión científica y metodológica es correcta al comparar ambas covarianzas?

Ejercicio 3: La suma de los productos

Para los puntos (1, 5), (2, 3) y (3, 1), las medias son x̄ = 2 y ȳ = 3.

¿Cuánto vale la suma de los productos (x − x̄)(y − ȳ)?

Ejercicio 4: El cuadrante de un punto

En las 14 capitales, la altitud promedio es 1.090 m y la temperatura promedio, 22,5 °C. Cartagena está a 2 m y tiene 28,0 °C.

¿Qué signo tiene el producto de las desviaciones de Cartagena?

Ejercicio 5 (tipo Saber 11): De kilómetros a metros

Con la altitud en kilómetros, cinco capitales tienen una covarianza de −5,14 km·°C (dividiendo entre n).

¿Cuánto vale la covarianza si la altitud se escribe en metros?

Ejercicio 6: El rectángulo de Medellín

En las 14 capitales, 13 tienen un producto de desviaciones negativo. Medellín (1.492 m; 23,06 °C) es la única con producto positivo.

¿Por qué su producto es positivo?