2.2 Diagramas de Dispersión y Correlación Lineal

Situación real

Dos números por cada capital

Cada estación del IDEAM en una capital aporta dos números: su altitud y su temperatura media. Lo interesante ya no es cada variable por separado, sino cómo cambian juntas.

Para verlo se usa un diagrama de dispersión: cada capital es un punto del plano, con la variable que se usa para predecir (la altitud) en el eje horizontal y la variable respuesta (la temperatura) en el vertical. Una nube de puntos se lee en cuatro pasos: dirección, forma, fuerza y los puntos que se apartan.

Fuente: IDEAM, Normales Climatológicas Estándar 1991–2020 de las capitales y Catálogo Nacional de Estaciones (sección 18.1 del libro «Matemáticas para un mundo sostenible»).

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Cómo se lee una nube

Dale «Reproducir» y mira las 14 capitales del IDEAM.

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Etapa 1 de 5 · Los puntos

Cada punto es una estación del IDEAM en una capital: su altitud y su temperatura media. Los puntos no se unen con líneas: no tienen orden, son estaciones distintas.

Capitales

cada punto, una estación del IDEAM

Recta de regresión

aparece con la forma

Laboratorio

Nube de puntos, r y recta de mínimos cuadrados

Mueve $r$ y mira cómo se aprieta o se abre la nube. Después prueba la curva y el dato atípico.

Datos $(x_i, y_i)$
Recta de mínimos cuadrados

Correlación $r$

+0,85

Determinación $R^2$

72%

Pendiente $m$

0,81

Coeficiente de correlaciónr = +0,85

Correlación positiva fuerte: cuando x sube, y tiende a subir y los puntos van pegados a la recta.

Los 4 Pilares del Análisis Visual de Dispersión

1. Forma

¿Sigue una línea recta (lineal), una curva parabólica/exponencial (no lineal) o una nube amorfa sin patrón?

2. Dirección

Si $X$ crece, ¿ $Y$ también sube? (Positiva / Directa). ¿O $Y$ desciende? (Negativa / Inversa).

3. Fuerza

¿Qué tan comprimidos están los puntos alrededor de la línea de ajuste? Puntos pegados señalan correlación fuerte; nube ancha señala correlación débil.

4. Puntos Atípicos

Observaciones aisladas lejos de la masa de datos (outliers) que pueden ejercer un enorme apalancamiento en la pendiente calculada.

Principio Sagrado: Correlación NO Implica Causalidad

Ver que dos variables numéricas crecen o decrecen juntas en un gráfico jamás prueba que una sea la causa física de la otra. Muchas veces hay detrás una variable de confusión o tercera variable oculta.

Ejemplo clásico:

En las ciudades costeras existe una fuerte correlación positiva entre la venta de helados ( $X$ ) y los ataques de tiburón ( $Y$ ). ¿Comer helado atrae a los tiburones? Por supuesto que no: la variable latente es la temperatura del verano, que incrementa tanto el apetito por helado como la cantidad de bañistas en el mar.

Ejemplo resuelto

La lluvia y los días de lluvia

Para las mismas 14 capitales, se ponen en un diagrama de dispersión los días del año en que llueve al menos 1 mm (eje horizontal) y la lluvia que cae en el año (eje vertical). Describe la relación.

1
Dirección
Positiva: donde llueve más días, cae más lluvia en el año.
2
Forma
Aproximadamente lineal: no se ve una curva.
3
Fuerza
Bastante fuerte, pero menos que la de la altitud y la temperatura: los puntos se apartan más de la recta (r ≈ 0,86 frente a −0,98).
4
Los que se apartan
Quibdó, con 287 días y 8.156,9 mm, queda muy lejos de las demás. Y hay estaciones con casi los mismos días y lluvias muy distintas: Villavicencio, 210 días y 4.517,4 mm; Leticia, 206 días y 3.358,8 mm. En Villavicencio, cada día de lluvia es en promedio más intenso.

Ejemplo de la sección 18.1 del libro «Matemáticas para un mundo sostenible», con datos del IDEAM.

Práctica

Ejercicio 1: Dirección e Interpretación Física

Un estudio automotriz grafica en el eje X el peso total de 50 modelos de vehículos (en kg) y en el eje Y su rendimiento de combustible (en kilómetros por galón). ¿Qué tipo de correlación se espera encontrar y qué signo tendrá el coeficiente de Pearson?

Ejercicio 2: La Trampa del Coeficiente de Pearson Nulo

Si para dos variables numéricas X e Y se obtiene un coeficiente de correlación de Pearson r = 0,02 (prácticamente cero), ¿cuál de las siguientes conclusiones es matemáticamente correcta?

Ejercicio 3: Coeficiente de Determinación R²

Un analista ajusta una recta de regresión lineal entre el gasto en publicidad (X) y las ventas trimestrales (Y), obteniendo un coeficiente de Pearson r = 0,80. ¿Cómo se interpreta el coeficiente de determinación R² = r² = 0,64?

Ejercicio 4: ¿Funcional o estadística?

El costo de x tintos de $1.500 cada uno.

¿Qué clase de relación hay entre el costo y x?

Ejercicio 5 (tipo Saber 11): Los años de un carro

Se hace un diagrama de dispersión con los años de uso de varios carros del mismo modelo y su precio de venta.

¿Qué dirección se espera en la nube?

Ejercicio 6: El día y la noche

Temperatura mínima y máxima medias (°C) de cinco estaciones del IDEAM: Riohacha 24,44 y 33,42; Quibdó 23,40 y 30,64; Medellín 17,66 y 27,96; Bogotá 8,33 y 19,42; Pasto 9,49 y 17,34.

¿En cuál se diferencian más el día y la noche?

Síntesis Metodológica del Profe Christian

"En ciencia de datos, graficar la nube de puntos es de los primeros pasos antes de ajustar un modelo: te dice si una recta tiene sentido o si la relación es curva. Nunca mires solo el número $r$ ; mira siempre la gráfica. El cuarteto de Anscombe lo muestra: cuatro nubes muy distintas con el mismo $r$ ."