2.10 Análisis de Regresión en Economía

Descubre cómo los economistas utilizan las rectas para tomar decisiones sobre impuestos, empleo y crecimiento.

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Situación real

¿Qué tan desigual es Colombia?

Si se reparte la población de Colombia en cinco grupos del mismo tamaño, según su ingreso, el quinto más rico se lleva el 58,9% de todo el ingreso y el quinto más pobre, el 3,2%. El coeficiente de Gini resume ese reparto en un número: 0 si todos reciben lo mismo; más alto, más desigual. El de Colombia es 54,4, el mayor de ocho países de América Latina.

Los economistas usan rectas de regresión para ver cómo se mueven juntas dos cifras como estas, y para decir cuánto cambia una cuando cambia la otra. Leer bien esa recta, número por número, es lo que hace esta lección.

Fuente: Banco Mundial, World Development Indicators, 2024 (tabla de la sección 8.7 del libro «Matemáticas para un mundo sostenible»).

La recta, número por número

Momento animado

Leer una recta de la economía

Dale «Reproducir» y lee la recta por partes: la pendiente, el corte y un país.

45%50%55%60%40455055Giniparte del quinto más ricoColombiaBrasilEcuadorChileMéxicoUruguay, Perú y Bolivia
0%
Etapas

Etapa 1 de 5 · Ocho países

Cada punto es un país: qué parte del ingreso se lleva el quinto más rico de la población, y su coeficiente de Gini (0 si todos reciben lo mismo; más alto, más desigual).

Pendiente b

?

puntos de Gini por cada punto del quinto más rico

Correlación r

?

aparece con la recta

Caso de estudio: la curva de Phillips

Uno de los modelos más famosos de la macroeconomía propone una relación inversa entre la inflación y el desempleo a corto plazo. El laboratorio usa datos de ejemplo, no de un país real, para ver cómo una recta con pendiente negativa modela ese intercambio.

Laboratorio

Inflación y desempleo: la recta de los datos

Mueve la inflación y lee el desempleo que predice la recta. Los puntos son datos de ejemplo.

0%2%4%6%8%10%0%4%8%12%Inflación (x)Desempleo (y)
  • Datos de ejemplo
  • Recta de mínimos cuadrados

Desempleo que predice

8,0%

y^=12,0−0,8x\hat{y} = 12{,}0 - 0{,}8x

Pendiente

−0,8

puntos de desempleo por cada punto de inflación

5%

Según la recta, cada punto más de inflación va con 0,8 puntos menos de desempleo. Es una asociación en estos datos: no prueba que subir la inflación baje el desempleo (en los años setenta muchos países tuvieron las dos altas a la vez).

¿Para qué sirve?

  • 1. Describir:ver si dos cifras se mueven juntas y qué tanto (r y R²).
  • 2. Cuantificar:decir cuánto cambia Y, en promedio, cuando X sube una unidad (la pendiente bb).
  • 3. Predecir:estimar Y para un X dentro del rango de los datos, con su error típico SeS_e.

Cuidado al interpretar

Correlación no es causa

Que dos cifras se muevan juntas no prueba que una cause la otra. Puede haber una tercera detrás, o la flecha puede ir al revés.

Sistemas complejos

La economía depende de muchas variables a la vez. Una recta simple, y^=a+bx\hat{y} = a + bx, puede fallar si deja por fuera una que importa.

El kit del economista

r
Correlación: la dirección y la fuerza de la relación. Con los ocho países, 0,993.
R²
Determinación: qué parte de la variación de Y va con X. Con los ocho países, 98,7%.
SeS_e
Error estándar: de cuánto se equivoca la recta, en las unidades de Y. Con los ocho países, 0,65 puntos de Gini.

Ejemplo resuelto

La recta de los ocho países

En los ocho países, la parte del quinto más rico tiene promedio x̄ = 50,2625% y el Gini, ȳ = 44,5625. Con una calculadora, la pendiente de mínimos cuadrados es b ≈ 1,1211. Halla el corte a, predice el Gini de Ecuador (su quinto más rico recibe el 50,0%) y compáralo con el real, 45,2.

  1. 1

    El corte

    La recta pasa por el punto promedio, así que a = ȳ − b·x̄.
    a=44,5625−1,1211⋅50,2625≈−11,79\begin{aligned} a &= 44{,}5625 - 1{,}1211 \cdot 50{,}2625 \\ &\approx -11{,}79 \end{aligned}
  2. 2

    La recta

    y^=−11,79+1,1211 x\hat{y} = -11{,}79 + 1{,}1211\,x
  3. 3

    Predice Ecuador

    Reemplaza x = 50,0.
    y^=−11,79+1,1211⋅50≈44,27\hat{y} = -11{,}79 + 1{,}1211 \cdot 50 \approx 44{,}27
  4. 4

    El residuo

    Ecuador es 0,93 puntos más desigual de lo que predice la recta con la parte de su quinto más rico.
    e=45,2−44,27=0,93e = 45{,}2 - 44{,}27 = 0{,}93
  5. 5

    Interpreta

    Con r ≈ 0,993, R² ≈ 0,987: el 98,7% de la variación del Gini entre estos ocho países va con la parte del quinto más rico. Las dos cifras describen el mismo reparto del ingreso, por eso van tan juntas.

Datos de la tabla de la sección 8.7 del libro «Matemáticas para un mundo sostenible» (Banco Mundial, 2024). La regresión es nueva.

Práctica

Ejercicio 1: Leer la pendiente
En una encuesta (datos hipotéticos), el ingreso mensual de los trabajadores, en miles de pesos, según sus años de estudio después del bachillerato x, sigue la recta ŷ = 1.600 + 450x.
¿Qué significa el 450?
Ejercicio 2 (tipo Saber 11): La pendiente del Gini
Con los ocho países de América Latina, la recta del Gini según la parte del ingreso del quinto más rico (x, en %) es ŷ ≈ −11,79 + 1,12x.
¿Qué significa el 1,12?
Ejercicio 3: Predecir con la recta
Con la recta de los ocho países, ŷ ≈ −11,79 + 1,1211x.
¿Qué Gini predice para un país cuyo quinto más rico recibe el 52% del ingreso?
Ejercicio 4: ¿Por qué van tan juntas?
Entre los ocho países, la parte del ingreso del quinto más rico y el Gini tienen r ≈ 0,993.
¿Qué conclusión es la correcta?
Ejercicio 5 (tipo PISA): La flecha al revés
En los barrios de una ciudad (datos hipotéticos), hay una correlación de r = 0,85 entre el número de policías que patrullan y el número de delitos registrados. Un concejal concluye que la policía provoca los delitos y propone retirar la mitad de las patrullas.
¿Cuál es el error de esa propuesta?
Ejercicio 6: El corte
En la recta de los ocho países, ŷ ≈ −11,79 + 1,12x, el corte es a ≈ −11,79.
¿Qué dice ese número sobre la desigualdad?