2.1 Variables Bidimensionales

Aprende a analizar dos variables simultáneamente usando tablas de doble entrada y distribuciones conjuntas.

Estudiar en la plataforma interactiva

Situación real

Dos números de cada estación

El IDEAM anota, para la estación de cada capital, su altitud y su temperatura media. El DANE anota, para cada persona de la fuerza de trabajo, si es mujer u hombre y si está ocupada o desocupada. En los dos casos, cada elemento aporta dos valores a la vez.

Con una sola variable se describe cada lista. Con las dos juntas aparece algo nuevo: la relación entre ellas. Eso es una variable bidimensional.

Fuente: IDEAM, Normales Climatológicas Estándar 1991–2020 de las capitales; DANE, Gran Encuesta Integrada de Hogares (secciones 18.1 y 17.1 del libro «Matemáticas para un mundo sostenible»).

Lo que las listas no muestran

Momento animado

De dos listas a una nube

Dale «Reproducir» y mira las 14 capitales del IDEAM.

01.0002.0003.0001015202530altitud (m)temperatura (°C)solo la altitud
0%
Etapas

Etapa 1 de 4 · La altitud sola

Cada punto rojo es la altitud de una capital con estación del IDEAM, de 2 m (Cartagena) a 2.710 m (Pasto). Solo con esta lista no se sabe nada de su clima.

Cada capital

una lista

cada variable por separado

La relación

?

no se ve en las listas

La tabla de doble entrada

También se llama tabla de contingencia. Cruza las categorías de una variable (el sexo) con las de la otra (estar ocupada o desocupada). Es la tabla 17.1 del libro, con los datos del DANE.

Laboratorio

La fuerza de trabajo en una tabla

Cambia la vista y toca una celda para leerla. Miles de personas, junio a agosto de 2026 (DANE, GEIH).

SexoOcupadasDesocupadasTotal
Hombres
Mujeres
Total

1.199 mil personas son mujeres y están desocupadas. Es una frecuencia conjunta: cuenta las dos condiciones a la vez.

Las cuatro celdas de adentro forman la distribución conjunta. La fila y la columna «Total» son las distribuciones marginales: cada variable sola.

Distribución Conjunta

Es el centro de la tabla. Responde preguntas con «y»:
«¿Cuántas personas son mujeres y están desocupadas?»

nij→P(X=xi,Y=yj)n_{ij} \rightarrow P(X=x_i, Y=y_j)
Distribución Marginal

Son los márgenes (los totales). Deja de lado una variable para mirar la otra:
«¿Cuántas personas están desocupadas en total, sean hombres o mujeres?»

n⋅j=∑inijn_{\cdot j} = \sum_{i} n_{ij}

¿Cómo lo visualizamos?

Variables Cualitativas

Gráfico de Barras Segmentadas

Útil para comparar proporciones. Por ejemplo, ver cómo cambia la desocupación entre hombres y mujeres.

Variables Cuantitativas

Diagrama de Dispersión

Puntos en un plano cartesiano. Fundamental para ver correlaciones (nubes de puntos).

Nube de puntos con correlación positiva

La Prueba de Independencia

Dos variables son independientes si saber una no te da información sobre la otra. Matemáticamente, esto ocurre si la probabilidad conjunta es igual al producto de las marginales.

P(X∩Y)=P(X)⋅P(Y)P(X \cap Y) = P(X) \cdot P(Y)

Si esta igualdad NO se cumple, existe una asociación o dependencia entre las variables.

Ejemplo resuelto

La encuesta del curso

En un colegio de Tumaco, Sharon encuesta a los 40 estudiantes de su curso (datos hipotéticos). 25 viven en el casco urbano y 15 en una vereda; 24 dicen que en su casa separan la basura, y de ellos, 10 viven en la vereda. Completa la tabla de doble entrada. Si se escoge un estudiante al azar, ¿cuál es la probabilidad de que viva en el casco urbano y no separe la basura?

  1. 1

    Pon los datos

    Los totales de las filas (25 y 15), el de la columna «separan» (24) y la celda vereda-separan (10).
  2. 2

    Completa con restas

    Cada fila y cada columna suman su total.
    24−10=1425−14=1115−10=540−24=16\begin{gathered} 24 - 10 = 14 \qquad 25 - 14 = 11 \\ 15 - 10 = 5 \qquad 40 - 24 = 16 \end{gathered}
  3. 3

    Comprueba

    La columna «no separan» suma 11 + 5 = 16, igual que su total.
  4. 4

    La probabilidad conjunta

    Casco urbano Y no separa es la celda donde se cruzan, dividida entre el total.
    P=1140=0,275P = \frac{11}{40} = 0{,}275
La tabla completa
SeparanNo separanTotal
Casco urbano141125
Vereda10515
Total241640

Ejemplo de la sección 17.1 del libro «Matemáticas para un mundo sostenible».

Práctica

Ejercicio 1: ¿Cuál es bidimensional?
Un curso recoge varios datos de sus estudiantes.
¿Cuál de estos datos forma una variable bidimensional?
Ejercicio 2: Completar la tabla
En una vereda hay 200 hogares (datos hipotéticos): 130 tienen acueducto, 80 tienen un tanque para recoger agua lluvia, y 50 tienen tanque pero no acueducto.
¿Cuántos hogares tienen tanque y acueducto?
Ejercicio 3: Conjunta o condicional
En la tabla de Sharon (40 estudiantes): casco urbano, 14 separan y 11 no; vereda, 10 separan y 5 no.
Si se escoge al azar un estudiante del curso, ¿cuál es la probabilidad de que viva en el casco urbano y no separe la basura?
Ejercicio 4 (tipo Saber 11): Una marginal
En la tabla del DANE (junio a agosto de 2026), la fuerza de trabajo tenía 26.479 mil personas: 15.060 mil hombres y 11.419 mil mujeres; de ellas, 1.199 mil estaban desocupadas.
¿Cuál es la probabilidad de que una persona escogida al azar sea mujer?
Ejercicio 5: ¿Qué gráfico?
Se quieren mostrar la altitud y la temperatura media de las 14 capitales con estación del IDEAM.
¿Qué gráfico muestra mejor la relación entre las dos variables?
Ejercicio 6: Un par de datos
En la tabla del IDEAM, Bogotá aparece con 2.547 m de altitud y 13,93 °C de temperatura media.
¿Qué representa el par (2.547; 13,93)?