1.9 Diagramas de Caja y Bigotes (Boxplots)

Situación real

¿Mucho o poco bosque?

En 2022, el 53,9% del territorio de Colombia estaba cubierto por bosque. ¿Es mucho o poco? Depende de con quién se compare: entre 21 países de América Latina, Uruguay tenía 11,2% y Surinam, 91,8%.

Para saber en qué puesto queda Colombia no basta un promedio. Hay que ordenar a los 21 países y partirlos en cuartos: eso es un diagrama de caja.

Fuente: Banco Mundial (indicadores de desarrollo mundial, con datos de la FAO), 2022.

Momento animado

Ordenar, partir en cuartos y armar la caja

Dale a Reproducir o arrastra la barra. Fíjate en que los cuatro grupos tienen los mismos países aunque ocupen distinto espacio.

Un dato
Cuartiles y caja
Atípico

Avance0%

Etapas

Etapa 1 de 6 · Los datos

Cada punto es un país de América Latina y el porcentaje de su territorio cubierto por bosque. Son 21 países.

—

RIC

—

En % del territorio cubierto por bosque. Fuente: Banco Mundial (indicadores de desarrollo mundial, con datos de la FAO), 2022.

Los cinco números de la caja

Un diagrama de caja resume los datos con cinco números. El estadístico John Tukey lo popularizó en su libro de 1977 sobre el análisis exploratorio de datos.

Mín

el dato menor que no es atípico

deja abajo la cuarta parte

deja abajo la mitad

deja abajo las tres cuartas partes

Máx

el dato mayor que no es atípico

Cómo se calculan (el método del Saber 11): ordena los datos. La mediana $Q_2$ es el dato del medio. $Q_1$ es la mediana de la mitad de abajo y $Q_3$ , la de la mitad de arriba; si los datos son impares, la mediana no entra en ninguna mitad.

RIC = Q_3 - Q_1

El rango intercuartílico (RIC, o IQR en inglés) es el ancho de la caja: el ancho de la mitad central de los datos. Las hojas de cálculo usan a veces otro método para los cuartiles; con pocos datos pueden dar un poco distinto.

Los atípicos y los bigotes

Un dato es atípico si se aleja de la caja más de 1,5 veces el RIC:

\text{menor que } Q_1 - 1{,}5 \cdot RIC

\text{mayor que } Q_3 + 1{,}5 \cdot RIC

Los atípicos se dibujan como puntos sueltos. Los bigotes no llegan hasta esos límites sino hasta el último dato real que está dentro de ellos. Un atípico no es un error: Surinam de verdad tiene 91,8% de bosque. Es un dato que merece una mirada aparte.

Concepto Clave

"La caja guarda la mitad central de los datos. Del mínimo a Q1, de Q1 a la mediana, de la mediana a Q3 y de Q3 al máximo hay más o menos la cuarta parte de los datos en cada tramo, aunque los tramos midan distinto."

Ejemplo resuelto: los cuartiles del bosque

Los porcentajes de bosque de los 21 países, ordenados, son: 11,2; 17,2; 24,5; 32,9; 33,4; 34,3; 34,8; 37,3; 40,3; 46,4; 49,9; 50,6; 53,2; 53,6; 53,7; 53,9; 58,9; 59,3; 62,3; 87,1; 91,8. Encuentra los cuartiles, el RIC y los atípicos.

1
La mediana: n = 21, así que es el dato 11.º
$Q_2 = 49{,}9$
2
Q1: la mediana de los 10 primeros, entre el 5.º y el 6.º
$Q_1 = \frac{33{,}4 + 34{,}3}{2} = 33{,}85$
3
Q3: la mediana de los 10 últimos, entre el 16.º y el 17.º
$Q_3 = \frac{53{,}9 + 58{,}9}{2} = 56{,}4$
4
El rango intercuartílico
$RIC = 56{,}4 - 33{,}85 = 22{,}55$
5
Los límites de los atípicos
Surinam (91,8) pasa de 90,225: es atípico. Por abajo el límite es 0,025 y ningún país queda debajo. Los bigotes llegan a Uruguay (11,2) y a Guyana (87,1).
$\begin{aligned} Q_3 + 1{,}5 \cdot 22{,}55 &= 56{,}4 + 33{,}825 \\ &= 90{,}225 \end{aligned}$

Leer la forma de una caja

Si la mediana queda pegada a $Q_1$ y el bigote de la derecha es largo, los datos tienen una cola hacia los valores grandes, como la lluvia de las capitales. Si queda pegada a $Q_3$ , como en el bosque, el cuarto entre la mediana y $Q_3$ está muy concentrado.

Varias cajas sobre la misma escala permiten comparar grupos de un vistazo: el centro (la mediana), la dispersión (el ancho de la caja) y los atípicos.

Laboratorio

Tres cajas de datos reales

Escoge un conjunto: el bosque de 21 países, o la lluvia o la temperatura de 14 capitales.

Un dato
Cuartiles y caja
Atípico

Q1: 875,90
Me: 997,15
Q3: 1.758,40
RIC: 882,50

En mm de lluvia al año.

Hay 3 datos atípicos: pasan de Q3 + 1,5·RIC = 3.082,15. La mediana está pegada a Q1: la mitad de arriba se estira más. Hay una cola hacia los valores grandes.

Fuente: IDEAM, Normales Climatológicas Estándar 1991–2020.

Práctica

Ahora tú

7 preguntas. Las que dicen «tipo Saber 11» y las de bosque y lluvia salen del libro «Matemáticas para un mundo sostenible», capítulo 8.

Pregunta 1: el límite de los atípicos

Los datos ordenados son:

5, 12, 13, 15, 18, 20, 45

Sus cuartiles son $Q_1 = 12$ y $Q_3 = 20$ . ¿Cuál es el límite superior para los atípicos y qué pasa con el 45?

Pregunta 2 (tipo Saber 11): interpretación y representación

En el diagrama de caja del bosque de 21 países, Q1 = 33,85% y Q3 = 56,4%. ¿Qué porcentaje de los países, aproximadamente, tiene un área de bosque entre esos dos valores?

Pregunta 3: los cuartiles a mano

Encuentra Q1, la mediana y Q3 de 6, 9, 10, 11, 13, 14, 20 (con el método del libro: si los datos son impares, la mediana no entra en ninguna mitad).

Pregunta 4: la lluvia de las capitales

Con la lluvia anual de las 14 capitales (IDEAM), Q1 = 875,9 mm, Q3 = 1.758,4 mm y RIC = 882,5 mm. Las más lluviosas son Leticia (3.358,8 mm), Villavicencio (4.517,4 mm) y Quibdó (8.156,9 mm). ¿Cuáles son atípicas?

Pregunta 5: la caja angosta

La caja del bosque va de 33,85% a 56,4%, menos de la cuarta parte de la escala de 0 a 100. ¿Qué significa eso?

Pregunta 6: la mediana pegada a Q3

En la caja del bosque, la mediana (49,9%) está cerca de Q3 (56,4%) y lejos de Q1 (33,85%). ¿Qué dice eso de los datos?

Pregunta 7 (tipo PISA): baterías para un respirador

Dos marcas de baterías para respiradores muestran su duración en diagramas de caja:

Marca A: caja angosta, mediana 10 h y bigote inferior en 9,2 h.
Marca B: caja ancha, mediana 12 h y bigote inferior en 6,5 h.

Si ningún respirador puede apagarse antes de 9 horas, ¿qué marca conviene y por qué?