1.8 Histogramas y Polígonos de Frecuencia

Situación real

168 números de lluvia

El IDEAM publica cuánto llueve en un mes normal en cada capital. Con 14 capitales y 12 meses son 168 números: van desde 0,3 mm (febrero en Cartagena) hasta 867,4 mm (agosto en Quibdó).

Leídos uno por uno no dicen mucho. Agrupados en un histograma muestran de un golpe cómo se reparten. Pero cuidado: según cómo se agrupen, la figura cuenta historias distintas.

Fuente: IDEAM, Normales Climatológicas Estándar 1991–2020.

Momento animado

El histograma se construye, y el ancho de clase cambia su forma

Dale a Reproducir o arrastra la barra. Mira qué se ve y qué se esconde con cada ancho.

Meses en cada clase
Polígono de frecuencias

Avance0%

Etapas

Etapa 1 de 6 · 168 meses

Cada rayita es un mes en una capital: 14 capitales por 12 meses. Cae en su clase de 100 mm y se apila con las demás.

Ancho

—

Clases

—

Clase modal

—

Fuente de los datos: IDEAM, Normales Climatológicas Estándar 1991–2020.

El histograma

Es el gráfico de una tabla de frecuencias con datos agrupados en clases de una variable cuantitativa, como la lluvia o la estatura.

Cómo se lee

Eje horizontal: las clases, en orden, como en la recta numérica.
Eje vertical: la frecuencia, cuántos datos caen en cada clase.
Barras pegadas: donde termina una clase empieza la siguiente.

No es un gráfico de barras

Un gráfico de barras compara categorías (ciudades, colores) y sus barras van separadas. En un histograma el orden de las barras no se puede cambiar: siguen la recta numérica.

¿Cuántas clases? No hay una sola respuesta. Una guía es la regla de Sturges: $k \approx 1 + 3{,}322 \log n$ . Para 168 datos da unas 9 clases.

Concepto Clave

"Con clases del mismo ancho, la altura de cada barra es su frecuencia. Si las clases son demasiado angostas aparecen dientes y huecos; si son demasiado anchas, la forma se pierde."

El polígono de frecuencias

Se unen con segmentos los puntos medios de los techos de las barras. Cada punto está en la marca de clase $x_i$ , el centro de la clase, a la altura de su frecuencia $f_i$ .

Para que el polígono «toque tierra» se agrega una clase vacía en cada extremo, cuando tiene sentido (no hay lluvias negativas, así que en el ejemplo solo se agrega a la derecha). Sirve para comparar dos distribuciones en los mismos ejes sin que las barras se tapen.

Leer la silueta

Simétrica

Los datos se juntan en el centro y bajan parejo a los dos lados, como las estaturas de un curso.

Cola a la derecha

Muchos datos pequeños y pocos muy grandes, como la lluvia de las capitales o los ingresos.

Dos picos

Puede haber dos grupos mezclados en los datos, como en el envasado de la pregunta 7.

Ejemplo resuelto: la lluvia de un año

Con la lluvia anual de las 14 capitales, haz una tabla de frecuencias con clases de 1.000 mm, desde 0 hasta 9.000 mm. ¿Qué forma tiene el histograma?

1
Escoge las clases
[0, 1.000), [1.000, 2.000), …, [8.000, 9.000): nueve clases del mismo ancho, sin huecos ni traslapes. El dato mayor, 8.156,9 mm (Quibdó), cabe en la última.
2
Cuenta los datos de cada clase
[0, 1.000): Tunja, Riohacha, Pasto, Cali, Bogotá, Bucaramanga y Barranquilla, 7. [1.000, 2.000): Cartagena, Manizales, Ibagué y Medellín, 4. [3.000, 4.000): Leticia, 1. [4.000, 5.000): Villavicencio, 1. [8.000, 9.000): Quibdó, 1. Las demás, 0.
3
Comprueba el total
$\begin{aligned} &7 + 4 + 0 + 1 + 1 \\ &+ 0 + 0 + 0 + 1 = 14 \end{aligned}$
4
Lee la forma
La mitad de las capitales está en la primera clase y unas pocas se alejan mucho hacia la derecha. Eso se llama asimetría a la derecha, y es lo que jala el promedio hacia arriba (lección 1.10).

Laboratorio

Cambia el ancho de las clases

Los mismos 168 meses, agrupados de otra manera. ¿Con qué anchos se ve mejor la forma?

Meses en cada clase

Clases

0 vacías

Clase modal

82 meses

en [0, 100) mm

Ancho de clase100 mm

Con 9 clases se ve la forma: un pico a la izquierda y una cola larga a la derecha. La regla de Sturges sugiere unas 9.

Práctica

Ahora tú

7 preguntas. Las de lluvia salen del libro «Matemáticas para un mundo sostenible», capítulo 8, con datos del IDEAM.

Pregunta 1: el vértice del polígono

En un histograma, la clase $[20, 30)$ tiene frecuencia $f_i = 15$ .

¿En qué punto $(x, y)$ va el vértice del polígono de frecuencias para esa clase?

Pregunta 2: contar por clases

La lluvia anual de las 14 capitales (IDEAM), en mm, es: 655,6; 665,1; 827,4; 875,9; 877,3; 897,4; 920,5; 1.073,8; 1.611,3; 1.627,7; 1.758,4; 3.358,8; 4.517,4; 8.156,9. Con clases de 1.000 mm, ¿cuántas capitales hay en la clase [0, 1.000)?

Pregunta 3: el ancho de las clases

Con los 168 meses de lluvia, un estudiante hace un histograma con clases de 25 mm (35 clases, 10 de ellas vacías) y otro con clases de 300 mm (3 clases). ¿Qué afirmación es correcta?

Pregunta 4: el área de las barras

Un histograma tiene clases de ancho $A$ , y cada barra tiene de alto $h_i / A$ : la frecuencia relativa dividida entre el ancho. ¿Qué representa el área total de las barras?

Pregunta 5: barras pegadas

¿Por qué las barras de un histograma van pegadas y las de un gráfico de barras van separadas?

Pregunta 6: dos polígonos

En los mismos ejes se dibujan los polígonos de frecuencias de las notas de dos cursos que presentaron la misma prueba. El del curso B tiene la misma forma que el del A, pero está corrido hacia la derecha. ¿Qué se puede concluir?

Pregunta 7 (tipo PISA): dos picos en el envasado

Una máquina llena botellas de 500 ml. Antes, el histograma de lo que llenaba tenía un solo pico, en 500 ml. Después de un mantenimiento, una muestra de 400 botellas da un histograma con dos picos, en 480 ml y en 520 ml, aunque la media sigue en 500 ml.

¿Qué conclusión es la más razonable?