1.6 Tablas de Frecuencia para Datos Agrupados

Situación real

21 países, 21 números distintos

En 2022, el bosque cubría el 53,9% de Colombia, el 11,2% de Uruguay y el 91,8% de Surinam. Si se anotan los 21 países de América Latina del libro, casi no hay dos con el mismo porcentaje.

Una tabla con un renglón por valor tendría 21 renglones con frecuencia 1: no diría nada. Por eso se agrupan los datos en clases.

Fuente: Banco Mundial (indicadores de desarrollo mundial, con datos de la FAO), 2022.

Momento animado

De 21 datos sueltos a una tabla de clases

Dale a Reproducir o arrastra la barra. Mira de dónde salen el número de clases y su ancho.

Un país
Límites de clase
Frecuencia

Avance0%

Etapas

Etapa 1 de 5 · Los datos

Cada punto es un país de América Latina y el porcentaje de su territorio con bosque. Son 21 datos, casi todos distintos: una tabla con un renglón por valor no serviría.

Rango

—

Clases k

—

Amplitud

—

Fuente de los datos: Banco Mundial (indicadores de desarrollo mundial, con datos de la FAO), 2022.

Paso 1: Definir la Estructura

Para agrupar datos de forma científica y no "al ojo", seguimos tres cálculos fundamentales:

1. Rango ( $R$ )

Es la distancia total entre el dato mayor y el menor.

R = x_{max} - x_{min}

2. Número de Clases ( $k$ )

¿Cuántas filas tendrá mi tabla? Usamos la Regla de Sturges.

k = 1 + 3{,}322 \log_{10}(n)

* n es el total de datos. Siempre redondea al entero superior.

3. Amplitud ( $A$ )

¿Qué tan "ancho" es cada intervalo?

A = \frac{R}{k}

Concepto Clave

"La Regla de Sturges nos da el número óptimo de intervalos para no perder información ni saturar la tabla."

Paso 2: Anatomía de un Intervalo

Cada fila de nuestra tabla representa un intervalo $[L_i, L_s)$ , donde $L_i$ es el límite inferior y $L_s$ el superior.

La Marca de Clase ( $x_i$ )

Como ya no tenemos un solo dato, sino un rango, necesitamos un representante para hacer cálculos (como la media). Ese representante es el punto medio:

x_i = \frac{L_i + L_s}{2}

Nota sobre Corchetes: Usualmente usamos $[L_i, L_s)$ . Esto significa que el intervalo incluye el límite inferior pero excluye el superior (el cual se cuenta en la siguiente fila).

Práctica de Construcción

Ejercicio 1.1: Estimación de Intervalos (Regla de Sturges)

Si dispones de un conjunto de $n = 50$ datos cuantitativos continuos, ¿cuántos intervalos ( $k$ ) sugiere utilizar la Regla de Sturges?

Ejercicio 1.2: Determinación de la Marca de Clase

En una tabla de frecuencias agrupadas de pesos, un intervalo de clase es $[60, 70)$ kg. ¿Cuál es su marca de clase $x_i$ ?

Ejemplo resuelto: la tabla del bosque

El libro agrupa el bosque de los 21 países en clases de 10 puntos, desde 10 hasta 100. Completa la tabla y lee la clase con más países.

1
Las clases
[10, 20), [20, 30), …, [90, 100): nueve clases de amplitud 10, sin huecos. Con números redondos la tabla se lee mejor, aunque Sturges sugiera 6.
2
Cuenta: frecuencia absoluta
2, 1, 5, 3, 7, 1, 0, 1, 1. Suman 21.
3
Divide entre 21: frecuencia relativa
9,5%; 4,8%; 23,8%; 14,3%; 33,3%; 4,8%; 0%; 4,8%; 4,8%. Por el redondeo suman 100,1%.
4
Acumula
2, 3, 8, 11, 18, 19, 19, 20, 21. Con menos de 50% de bosque hay 11 países: 11 ÷ 21 ≈ 52,4%.
5
La clase modal
La clase con más países es [50, 60), con 7. Ahí está Colombia (53,9%).
$h = \frac{7}{21} \approx 0{,}333$

Laboratorio

Cambia la amplitud de las clases

Las clases empiezan en 11. ¿Cuántas salen y qué tanto se aleja la media de la tabla de la real?

Un país
Límites de clase
Frecuencia

Clases

Media estimada

47,33%

real: 46,98%

Amplitud de cada clase14 puntos

Con clases de 14 puntos hay 6 clases, 1 vacías. La media estimada con las marcas es 47,33% y la real, 46,98%: se alejan 0,35 puntos.

Desafío de Aplicación

Ejercicio 2.1: Ajuste Técnico de la Amplitud de Clase

Si en una serie de datos el rango es $R = 100$ y decides fijar $k = 5$ intervalos, el cociente inicial es $A = 100 / 5 = 20$ . Si al tabular notas que el dato máximo queda exactamente fuera del último intervalo semiabierto por efecto de redondeo, ¿qué ajuste metodológico debes aplicar?

Ejercicio 2.2 (Tipo PISA): Tiempos de Espera Hospitalarios

CONTEXTO: SALUD PÚBLICA

Un hospital analiza el tiempo de espera (en minutos) de $n = 100$ pacientes en urgencias:

[0, 15) min: 40 pacientes

[15, 30) min: 35 pacientes

[30, 45) min: 20 pacientes

[45, 60) min: 5 pacientes

¿Qué porcentaje de pacientes tuvo que esperar al menos 30 minutos?

Pregunta tipo Saber 11: interpretación y representación

Según la tabla de frecuencias del bosque, 7 de los 21 países de América Latina tienen entre 50% y 60% de su territorio con bosque. ¿Qué porcentaje de los países es ese?

Pregunta: las clases del bosque

Con los 21 países, el rango es 91,8 − 11,2 = 80,6 y la regla de Sturges sugiere 6 clases. ¿Qué amplitud conviene usar?