1.16 Análisis de Asimetría y Curtosis

Situación real

Una sola ciudad cambia la forma

La lluvia anual de las 14 capitales tiene media 1.987,4 mm y desviación estándar 2.020,7 mm. Esos dos números no dicen que una sola ciudad, Quibdó, está a más de tres desviaciones estándar de la media mientras las otras 13 se amontonan cerca.

Para describir eso hacen falta medidas de forma: la asimetría (¿hacia dónde se estiran los datos?) y la curtosis (¿qué tanto pesan los extremos?).

Fuente: IDEAM, Normales Climatológicas Estándar 1991–2020.

Momento animado

El cubo y la cuarta potencia: así pesan los extremos

Dale a Reproducir o arrastra la barra. Mira qué barra domina cuando se eleva al cubo y a la cuarta.

Avance0%

Etapas

Etapa 1 de 4 · Medir en desviaciones

Cada capital se mide en desviaciones estándar desde la media: z = (x − x̄) ÷ σ. Quibdó queda en z ≈ 3,05; las demás, entre −0,7 y 1,3.

Asimetría g₁

—

promedio de z³

Curtosis g₂

—

promedio de z⁴ − 3

Lluvia anual de 14 capitales. Fuente: IDEAM, Normales Climatológicas Estándar 1991–2020.

Asimetría: ¿Hacia dónde se inclina?

El Coeficiente de Asimetría de Fisher ( $g_1$ ) nos da un valor numérico para la inclinación:

g_1 = \frac{\sum (x_i - \bar{x})^3 / n}{s^3}

Simétrica

g_1 = 0

Equilibrio perfecto.

Asimetría Positiva

g_1 > 0

Cola larga a la derecha (valores altos extremos).

Asimetría Negativa

g_1 < 0

Cola larga a la izquierda (valores bajos extremos).

Curtosis: El Apuntamiento

La curtosis mide qué tan "puntiaguda" es la curva y, lo más importante, qué tan pesadas son las colas (la probabilidad de eventos extremos).

g_2 = \frac{\sum (x_i - \bar{x})^4 / n}{s^4} - 3

Los Tres Rostros de la Curtosis

Leptocúrtica

Mesocúrtica

Platicúrtica

Leptocúrtica ( $g_2 > 0$ )

Muy apuntada. Indica que hay muchos valores cerca de la media y algunos valores muy extremos (colas pesadas).

Mesocúrtica ( $g_2 = 0$ )

Distribución Normal. El estándar de comparación.

Platicúrtica ( $g_2 < 0$ )

Muy aplanada. Los datos están más dispersos y los valores extremos son raros.

Ejemplo resuelto: cinco ciudades andinas

Días con lluvia al año (IDEAM): Bogotá 120, Tunja 105, Pasto 136, Bucaramanga 122 y Cali 98. Su media es 116,2 y su desviación estándar, 13,39 (lección 1.14). Calcula la asimetría y la curtosis.

1
Pasa cada dato a z = (x − x̄) ÷ σ
Bogotá 0,28; Tunja −0,84; Pasto 1,48; Bucaramanga 0,43; Cali −1,36.
2
Asimetría: promedia los cubos
Los cubos son 0,02; −0,58; 3,23; 0,08 y −2,51. Pasto y Cali casi se cancelan.
$g_1 = \frac{0{,}241}{5} \approx 0{,}05$
3
Curtosis: promedia las cuartas y resta 3
Las cuartas suman 8,72.
$g_2 = \frac{8{,}72}{5} - 3 \approx -1{,}26$
4
Interpreta
g₁ ≈ 0: casi simétrica. g₂ < 0: aplanada (platicúrtica), sin datos extremos: los cinco están a menos de 1,5 desviaciones de la media.

Laboratorio

La forma de cuatro conjuntos reales

Escoge un conjunto y mira sus barras de z³ o de z⁴.

Asimetría g₁

-0,62

Curtosis g₂

-1,06

g₁ ≈ -0,62: cola a la izquierda. g₂ ≈ -1,06: colas livianas, aplanada (platicúrtica).

Fuente: IDEAM, Normales Climatológicas Estándar 1991–2020.

Análisis de Forma: ejercicios interactivos

Interpreta los coeficientes de Fisher para inferir colas pesadas y riesgos de asimetría.

Ejercicio 1: Diagnóstico Morfológico mediante Coeficientes de Fisher

Un analista financiero calcula los coeficientes de forma para los retornos diarios de un criptoactivo y obtiene los siguientes valores:

Asimetría: g₁ = 0,05, Exceso de Curtosis: g₂ = 8,40

¿Cómo se describe formalmente la silueta y el comportamiento probabilístico de esta distribución?

Ejercicio 2 (tipo PISA): Gestión de Riesgos Climáticos y Salud Pública

CLIMATOLOGÍA APLICADA: OLAS DE CALOR URBANOEn un estudio meteorológico veraniego, los registros de temperatura máxima diaria de una ciudad arrojan una distribución con Asimetría Positiva significativa ( $g_1 > 0$ ), con un promedio general aparentemente agradable de 23 °C.

¿Qué implicación técnica y epidemiológica directa tiene este parámetro de asimetría positiva para el sistema de protección civil y salud pública?

Pregunta: la lluvia de las capitales

La lluvia anual de las 14 capitales (IDEAM) tiene asimetría g₁ ≈ 2,09 y curtosis g₂ ≈ 3,46. ¿Qué describe mejor esos datos?

Pregunta: la temperatura

La temperatura media de las 14 capitales tiene asimetría g₁ ≈ −0,62. ¿Qué la explica?

Pregunta: ¿por qué el cubo?

Para medir la asimetría se promedian los z³ y no los z². ¿Por qué?

¿Por qué el "- 3" en la Curtosis?

La fórmula matemática pura de la curtosis da $3$ para una distribución normal. Los estadísticos restan ese 3 para que la normal sea $0$ , facilitando la interpretación. A esto se le llama Exceso de Curtosis.