1.14 Medidas de Dispersión II | Probabilidad y Estadística

Situación real

¿Cuántos días de sombrilla?

En un año normal, en Pasto llueve 136 días: más de uno de cada tres. En Cali, 98. Bogotá, Tunja y Bucaramanga quedan en medio, con 120, 105 y 122.

Si te mudas de una de estas ciudades a otra, ¿cuánto puede cambiar tu número de días de sombrilla? Para responder con un solo número, en días, los estadísticos usan una idea curiosa: convertir cada distancia en un cuadrado.

Fuente: IDEAM, Normales Climatológicas Estándar 1991–2020: días con lluvia de al menos 1 mm.

Momento animado

La varianza es un área; la desviación estándar, su lado

Dale a Reproducir o arrastra la barra. Mira cómo crecen los cuadrados de los datos lejanos.

Una ciudad
Media x̄
Por encima
Por debajo

Avance0%

Etapas

Etapa 1 de 6 · Cinco ciudades

Cada punto es una ciudad y los días con lluvia de su año normal: Cali 98, Tunja 105, Bogotá 120, Bucaramanga 122 y Pasto 136.

Ciudad	x	x − x̄	(x − x̄)²
Bogotá	120
Tunja	105
Pasto	136
Bucaramanga	122
Cali	98
Suma	581

Varianza σ²

—

días²

Desviación σ

—

días

Fuente de los datos: IDEAM, Normales Climatológicas Estándar 1991–2020.

La varianza

La varianza es el promedio de los cuadrados de las distancias a la media. Si tienes todos los datos (la población), se divide entre $n$ ; si son una muestra y quieres estimar la dispersión de toda la población, entre $n - 1$ .

Con todos los datos

$\sigma^2 = \frac{\sum (x_i - \bar{x})^2}{n}$

Con una muestra

$s^2 = \frac{\sum (x_i - \bar{x})^2}{n - 1}$

¿Por qué $n - 1$ ? En una muestra las distancias se miden a su propia media, que queda hecha a la medida de esos datos: la suma de cuadrados sale un poco más pequeña que si se midiera a la media de toda la población. Dividir entre un número menor compensa. Las calculadoras traen las dos: $\sigma_n$ y $s$ (o $\sigma_{n-1}$ ).

Ojo con las unidades. Si los datos están en días, la varianza queda en días², un «cuadrado de días» que nadie se imagina. Por eso se usa su raíz.

La desviación estándar

\sigma = \sqrt{\sigma^2}

Es el lado del cuadrado promedio y está en las mismas unidades de los datos. Nunca es negativa, y vale 0 solo cuando todos los datos son iguales. Como los cuadrados castigan a los datos lejanos, σ siempre da igual o más que la desviación media.

Concepto Clave

"La desviación estándar dice, en las unidades de los datos, qué tanto se alejan típicamente de su media."

Ejemplo resuelto: la varianza a mano

Calcula la desviación estándar de los días con lluvia: Bogotá 120, Tunja 105, Pasto 136, Bucaramanga 122 y Cali 98.

1
La media
$\bar{x} = \frac{581}{5} = 116{,}2\ \text{días}$
2
La distancia de cada ciudad a la media
3,8; −11,2; 19,8; 5,8; −18,2. Suman 0.
3
Eleva cada distancia al cuadrado
$\begin{aligned} &14{,}44 + 125{,}44 + 392{,}04 \\ &+ 33{,}64 + 331{,}24 = 896{,}8 \end{aligned}$
4
Promedia los cuadrados: la varianza
$\sigma^2 = \frac{896{,}8}{5} = 179{,}36\ \text{días}^2$
5
Saca la raíz: la desviación estándar
Las ciudades se apartan típicamente unos 13 días de la media. Si estos cinco datos fueran una muestra de las ciudades andinas, se dividiría entre 4: s² = 224,2 y s ≈ 14,97 días.
$\sigma = \sqrt{179{,}36} \approx 13{,}39\ \text{días}$

Laboratorio

Corre y estira los datos

El cuadrado es el promedio de los cuadrados: su área es σ² y su lado, σ. ¿Cuál control lo cambia?

Una ciudad
Media x̄
Por encima
Por debajo

Media

116,2

días

Varianza

179,36

días²

13,39

días

Correr todos los datos0 días

Estirar desde la media× 1

Correr los datos no cambia nada. Estirarlos por 1 multiplica σ por 1 (13,39 · 1 = 13,39) y σ² por 1².

Práctica

Ahora tú

7 preguntas. Las que dicen «tipo Saber 11» y las de datos del IDEAM salen del libro «Matemáticas para un mundo sostenible», capítulo 8.

Pregunta 1: varianza y desviación muestrales

De una población se toma una muestra de tres datos:

2, 4, 6

Calcula la varianza muestral $s^2$ (dividiendo entre $n - 1$ ) y la desviación estándar muestral $s$ .

Pregunta 2: la desviación estándar a mano

Calcula la desviación estándar (dividiendo entre n) de los datos 4, 8, 6, 5, 7.

Pregunta 3 (tipo Saber 11): formulación y ejecución

¿Cuál de estos conjuntos de datos tiene la mayor desviación estándar?

Pregunta 4: tierra caliente

Según el IDEAM, la temperatura media anual de cinco capitales de tierra caliente es: Cartagena 28,04 °C, Barranquilla 29,40 °C, Riohacha 28,42 °C, Quibdó 26,82 °C y Leticia 26,07 °C. Su media es 27,75 °C y la suma de los cuadrados de las distancias a la media es 6,9428. ¿Cuál es la desviación estándar?

Pregunta 5: sumar y multiplicar

Los datos 4, 8, 6, 5, 7 tienen media 6 y σ ≈ 1,41. ¿Qué pasa si a todos se les suma 5? ¿Y si, en cambio, todos se multiplican por 2?

Pregunta 6: dos cursos

Dos cursos tienen la misma nota media en matemáticas, 3,5. En uno la desviación estándar es 0,2 y en el otro, 0,9. ¿Qué descripción es correcta?

Pregunta 7 (tipo PISA): dos fondos de ahorro

Dos fondos de ahorro tuvieron en los últimos años el mismo rendimiento medio, 8% al año. El fondo A tuvo una desviación estándar de 1 punto y el fondo B, de 15 puntos.

Una persona que se pensiona el próximo año no puede arriesgarse a perder plata. ¿Qué fondo le conviene y por qué?