1.13 Medidas de Dispersión I | Probabilidad y Estadística

Situación real

Casi la misma lluvia, otro año

En un año normal, en Bogotá caen 877,3 mm de lluvia y en Barranquilla, 920,5 mm. Con esos dos números parecen ciudades igual de lluviosas.

Pero en Barranquilla enero deja apenas 1,4 mm y septiembre, 173,5 mm. En Bogotá el mes más seco, enero, recibe 32,9 mm, y el más lluvioso, abril, 116,7 mm. Si vas a planear un paseo, el promedio no te dice lo que necesitas: te falta saber qué tanto cambian los datos.

Fuente: IDEAM, Normales Climatológicas Estándar 1991–2020.

Momento animado

¿Qué tanto se alejan los meses del promedio?

Dale a Reproducir o arrastra la barra. Mira qué pasa al sumar las distancias con signo y sin él.

Media x̄
Mes por encima
Mes por debajo

Avance0%

Etapas

Etapa 1 de 6 · Un año de lluvia

La lluvia de cada mes en Barranquilla, en un año normal. En el año caen 920,5 mm, casi lo mismo que en Bogotá (877,3 mm).

Rango

—

Desviación media

—

Fuente de los datos: IDEAM, Normales Climatológicas Estándar 1991–2020.

El rango

Es la medida de dispersión más simple: la distancia entre el dato más grande y el más pequeño.

R = x_{\text{máx}} - x_{\text{mín}}

La amplitud térmica de un día es un rango: la temperatura máxima menos la mínima. Con las normales del IDEAM, en Bogotá es $19{,}42 - 8{,}33 = 11{,}09$ °C y en Barranquilla, $32{,}77 - 24{,}51 = 8{,}26$ °C. Barranquilla es mucho más caliente, pero en Bogotá hay más diferencia entre el día y la noche: por eso allá se sale con chaqueta en la mañana y se termina cargándola.

Ventaja

Se calcula en un momento y se entiende sin fórmulas.

Desventaja

Solo mira dos datos. Un único dato extremo lo cambia todo, y no dice nada de cómo están los del medio.

La desviación media

¿Qué tan lejos está, en promedio, cada dato de la media? Las distancias con signo no sirven, porque siempre suman 0. Por eso se toma su valor absoluto antes de promediar.

DM = \frac{|x_1 - \bar{x}| + |x_2 - \bar{x}| + \cdots + |x_n - \bar{x}|}{n}

¿Por qué la suma con signo da 0? Porque $(x_1 + \cdots + x_n) - n\bar{x} = n\bar{x} - n\bar{x} = 0$ : lo que unos datos tienen de más, otros lo tienen de menos.

Concepto Clave

"La media dice dónde está el centro; la dispersión dice qué tan confiable es ese centro para describir cada dato."

Ejemplo resuelto: días con lluvia

Según el IDEAM, en un año normal hay estos días con lluvia (de al menos 1 mm): Bogotá 120, Tunja 105, Pasto 136, Bucaramanga 122 y Cali 98. Calcula el rango y la desviación media.

1
Rango: el mayor menos el menor
$R = 136 - 98 = 38\ \text{días}$
2
Media: suma y divide entre 5
$\begin{aligned} \bar{x} &= \frac{120 + 105 + 136 + 122 + 98}{5} \\ &= \frac{581}{5} = 116{,}2\ \text{días} \end{aligned}$
3
Distancia de cada ciudad a la media, con su signo
Bogotá 3,8; Tunja −11,2; Pasto 19,8; Bucaramanga 5,8; Cali −18,2. Súmalas: dan 0, como siempre.
4
Quita los signos y suma
$\begin{aligned} &3{,}8 + 11{,}2 + 19{,}8 \\ &+ 5{,}8 + 18{,}2 = 58{,}8 \end{aligned}$
5
Divide entre 5
En promedio, cada ciudad se aleja unos 12 días de la media.
$DM = \frac{58{,}8}{5} = 11{,}76\ \text{días}$

Laboratorio

Compara cuatro capitales

Escoge una ciudad y mira su rango y su desviación media.

Media x̄
Mes por encima
Mes por debajo

Media

73,1

mm por mes

Rango

83,8

Desv. media

26,5

En Bogotá los meses se alejan en promedio 26,5 mm de su media: llueve en dos temporadas, pero ningún mes es seco del todo.

Práctica

Ahora tú

6 preguntas. Las de lluvia y temperatura salen del libro «Matemáticas para un mundo sostenible», capítulo 8, con datos del IDEAM.

Pregunta 1: rango y desviación media

Cuatro pedidos de una tienda en línea tardaron estos días hábiles en llegar:

2, 4, 6, 8

Su media es 5 días. ¿Cuánto valen el rango y la desviación media?

Pregunta 2: el día y la noche

Con las normales del IDEAM, la temperatura máxima media y la mínima media son: Bogotá 19,42 °C y 8,33 °C; Barranquilla 32,77 °C y 24,51 °C; Quibdó 30,64 °C y 23,40 °C. ¿En cuál de las tres se diferencian más el día y la noche?

Pregunta 3: misma media, distinta dispersión

Los datos A son 48, 50, 52 y los datos B son 30, 50, 70. Los dos tienen media 50. ¿Qué afirmación es correcta?

Pregunta 4 (tipo Saber 11): interpretar la dispersión

Con la lluvia de cada mes de un año normal (IDEAM): Bogotá tiene rango 83,8 mm y desviación media 26,5 mm; Barranquilla, rango 172,1 mm y desviación media 53,3 mm. Las dos reciben casi la misma lluvia en el año. ¿Qué se puede concluir?

Pregunta 5: correr todos los datos

A todos los datos de un conjunto se les suma 10. ¿Qué pasa con el rango y con la desviación media?

Pregunta 6 (tipo PISA): dos máquinas

Dos máquinas hacen tornillos que deben medir 10,0 mm. Las dos tienen una media de 10,0 mm. En una muestra, los tornillos de la máquina A van de 9,9 a 10,1 mm (rango 0,2 mm) y los de la máquina B, de 9,25 a 10,75 mm (rango 1,5 mm).

Si los tornillos deben encajar en una pieza que solo acepta entre 9,8 y 10,2 mm, ¿qué máquina conviene y por qué?