1.12 Medidas de Posición | Probabilidad y Estadística

Situación real

¿Llueve mucho en Bogotá?

En un año normal, en Bogotá llueve 120 días. ¿Es mucho? Depende de con qué se compare: en Riohacha son 45 días y en Quibdó, 287.

Un número suelto no dice si es alto o bajo. Lo que lo dice es su posición: cuántos datos quedan por debajo. Para eso están los cuartiles y los percentiles.

Fuente: IDEAM, Normales Climatológicas Estándar 1991–2020: días con lluvia de al menos 1 mm.

Momento animado

Un percentil es una posición

Dale a Reproducir o arrastra la barra. Primero se va del valor al porcentaje; después, del porcentaje al valor.

Una capital
% por debajo (ojiva)
Lectura de un percentil

Avance0%

Etapas

Etapa 1 de 6 · Las capitales

Cada punto es una capital y los días con lluvia de su año normal: desde 45 en Riohacha hasta 287 en Quibdó.

P90

—

días

Q1 · Me · Q3

—

días

Fuente de los datos: IDEAM, Normales Climatológicas Estándar 1991–2020.

Cuartiles, deciles y percentiles

Todos se calculan con los datos ordenados de menor a mayor. Lo que cambia es en cuántas partes se parten.

Cuartiles $Q_k$

Parten los datos ordenados en 4 partes: Q1, Q2 y Q3 son los percentiles 25, 50 y 75.

Deciles $D_k$

Parten los datos en 10 partes: D1 es el percentil 10, D2 el 20…

Percentiles $P_k$

Parten los datos en 100 partes: Pk deja por debajo, más o menos, el k% de los datos.

Por eso $Q_2 = D_5 = P_{50}$ : los tres son la mediana, el dato que deja la mitad por debajo.

¿Cómo se encuentra un percentil?

Para el percentil $k$ de $n$ datos ordenados, se calcula su posición:

L = \frac{k \cdot n}{100}

Si $L$ no es entero, se redondea hacia arriba y se toma ese dato.
Si $L$ es entero, se promedian el dato $L$ y el siguiente.

Hay varios métodos y con pocos datos pueden dar un poco distinto. Para los cuartiles, la lección 1.9 usa las mitades. Con los 14 días con lluvia los dos métodos coinciden; con el bosque de 21 países, esta regla da $P_{25} = 34{,}3$ y las mitades, $Q_1 = 33{,}85$ . Lo importante es saber cuál usa tu calculadora o tu profe.

Concepto Clave

"Un percentil es una posición, no una nota: estar en el percentil 80 es superar a alrededor del 80% de los datos."

Ejemplo resuelto: el percentil 80

Los días con lluvia de las 14 capitales, ordenados, son: 45, 61, 70, 98, 105, 120, 122, 133, 136, 173, 182, 206, 210, 287. Encuentra el percentil 80 y la posición de Bogotá.

1
Calcula la posición del percentil 80
$L = \frac{80 \cdot 14}{100} = 11{,}2$
2
L no es entero: redondea hacia arriba
Se toma el dato 12.º: Leticia, con 206 días. El 80% de las capitales tiene, más o menos, menos de 206 días con lluvia.
$P_{80} = 206\ \text{días}$
3
La posición de Bogotá (120 días)
Por debajo quedan Riohacha, Barranquilla, Cartagena, Cali y Tunja: 5 de 14.
$\frac{5}{14} \approx 0{,}357 = 35{,}7\%$
4
Interpreta
Bogotá está cerca del percentil 36: llueve menos días que en casi dos de cada tres capitales.

Laboratorio

Lee cualquier percentil

Mueve k y mira dónde toca la línea a la escalera.

Una capital
% por debajo (ojiva)
Lectura de un percentil

Percentil 80

206 días

Posición

12.º

Leticia

Percentil kk = 80

L = 80 · 14 ÷ 100 = 11,2 no es entero: se redondea hacia arriba y se toma el dato 12.º.

Práctica

Ahora tú

6 preguntas. Las de días con lluvia usan datos del IDEAM del libro «Matemáticas para un mundo sostenible», capítulo 8.

Pregunta 1: el primer cuartil con la regla de la posición

Estas son 10 notas ordenadas:

2, 5, 8, 10, 12, 15, 18, 20, 22, 25

Con $L = \frac{k \cdot n}{100}$ y $k = 25$ , ¿cuánto vale $Q_1$ ?

Pregunta 2: la mediana con la misma regla

Con las mismas 10 notas (2, 5, 8, 10, 12, 15, 18, 20, 22, 25), ¿cuánto vale el percentil 50?

Pregunta 3: el percentil 90 de los días con lluvia

Los días con lluvia de las 14 capitales, ordenados: 45, 61, 70, 98, 105, 120, 122, 133, 136, 173, 182, 206, 210, 287. ¿Cuál es el percentil 90?

Pregunta 4: la posición de Bogotá

Bogotá tiene 120 días con lluvia en un año normal. De las otras 13 capitales, 5 tienen menos días y 8 tienen más. ¿En qué percentil está Bogotá, aproximadamente, entre las 14 capitales?

Pregunta 5: el mismo lugar con otro nombre

¿Cuál de estas medidas es siempre igual a la mediana?

Pregunta 6 (tipo PISA): el reporte de una prueba

«Tu desempeño en lectura te ubica en el percentil 90 de los estudiantes del país».

¿Qué quiere decir ese reporte?