1.11 Relación entre Media, Mediana y Moda

Situación real

Dos números que no coinciden

En un mes normal, en una capital colombiana caen en promedio 165,6 mm de lluvia, pero la mitad de los meses recibe menos de 102,9 mm. Con la temperatura pasa al revés: la media de las 14 capitales es 22,5 °C y la mediana, 23,9 °C.

¿Por qué en un caso la media queda arriba y en el otro abajo? La respuesta está en la forma de los datos: hacia dónde se estira su cola.

Fuente: IDEAM, Normales Climatológicas Estándar 1991–2020.

Momento animado

La cola jala a la media

Dale a Reproducir o arrastra la barra. Fíjate en el orden de Mo, Me y x̄ en cada conjunto.

Moda Mo
Mediana Me
Media x̄

Avance0%

Etapas

Etapa 1 de 5 · La lluvia

La lluvia de 168 meses en 14 capitales, en clases de 50 mm. La mayoría de los meses tiene poca lluvia y unos pocos, muchísima: una cola larga a la derecha.

Moda

—

Mediana

—

Media

—

Fuente de los datos: IDEAM, Normales Climatológicas Estándar 1991–2020.

Los tres escenarios

Cola a la izquierda

$\bar{x} < Me < Mo$

Pocos datos muy pequeños jalan la media hacia abajo. Ejemplo: la temperatura de las capitales (unas pocas muy frías).

Simétrica

$\bar{x} \approx Me \approx Mo$

Los datos bajan parejo a los dos lados del centro y las tres medidas quedan cerca.

Cola a la derecha

$Mo < Me < \bar{x}$

Pocos datos muy grandes jalan la media hacia arriba. Ejemplo: la lluvia de cada mes, o los ingresos.

Concepto Clave

"La media se va hacia la cola; la mediana se queda con la mayoría. Por eso, con datos muy asimétricos, la mediana describe mejor el caso típico."

Medir la asimetría: el coeficiente de Pearson

El estadístico Karl Pearson propuso medir la asimetría comparando la media con la mediana, en unidades de desviación estándar:

A_P = \frac{3(\bar{x} - Me)}{\sigma}

Si es positivo, la cola está a la derecha; si es negativo, a la izquierda; cerca de 0, los datos son casi simétricos. Con la lluvia de los 168 meses da cerca de 1,03; con la temperatura de las 14 capitales, cerca de −0,78.

También se usa la relación $\bar{x} - Mo \approx 3(\bar{x} - Me)$ , pero solo vale, más o menos, para datos con poca asimetría. Con la lluvia, que tiene una cola muy larga, no se cumple: $\bar{x} - Mo \approx 90{,}6$ y $3(\bar{x} - Me) \approx 188{,}1$ .

Ejemplo resuelto: la temperatura de las capitales

Las temperaturas medias de las 14 capitales (IDEAM), ordenadas, en °C: 13,07; 13,26; 13,93; 17,32; 21,62; 23,06; 23,78; 24,11; 25,91; 26,07; 26,82; 28,04; 28,42; 29,40. Encuentra la media, la mediana y la clase modal (clases de 4 °C desde 12) y di hacia dónde está la cola.

1
La media
$\bar{x} = \frac{314{,}81}{14} \approx 22{,}49\ ^{\circ}\text{C}$
2
La mediana: el promedio del 7.º y el 8.º
$Me = \frac{23{,}78 + 24{,}11}{2} = 23{,}945\ ^{\circ}\text{C}$
3
La clase modal
[12, 16): 3; [16, 20): 1; [20, 24): 3; [24, 28): 4; [28, 32): 3. La clase modal es [24, 28), con marca 26 °C.
4
Ordena y concluye
x̄ ≈ 22,5 < Me ≈ 23,9 < Mo = 26: cola a la izquierda. Las capitales de montaña (Bogotá, Tunja y Pasto, con unos 13 °C) jalan la media hacia abajo.

Laboratorio

La forma de cuatro conjuntos reales

Escoge un conjunto y mira el orden de la moda, la mediana y la media.

Moda Mo
Mediana Me
Media x̄

Moda

55%

Mediana

49,9%

Media

47,0%

Coeficiente de Pearson: 3 · (x̄ − Me) ÷ σ ≈ -0,45, cola a la izquierda. La media queda por debajo de la mediana.

Fuente: Banco Mundial (indicadores de desarrollo mundial, con datos de la FAO), 2022.

Práctica

Ahora tú

6 preguntas. Las de lluvia y temperatura usan datos del IDEAM del libro «Matemáticas para un mundo sostenible», capítulo 8.

Pregunta 1: el tiempo en una aplicación

En un estudio del tiempo diario que pasan los usuarios en una aplicación, la moda es 32 minutos, la mediana 38 minutos y la media 45 minutos. ¿Qué forma tienen los datos?

Pregunta 2 (tipo Saber 11): la lluvia de las capitales

En las 14 capitales, la lluvia anual media es de 1.987 mm y la mediana es de 997 mm (IDEAM). ¿Qué forma tienen los datos?

Pregunta 3: la temperatura

La temperatura media de las 14 capitales tiene media 22,5 °C, mediana 23,9 °C y clase modal [24, 28). ¿Qué explica que la media sea la menor?

Pregunta 4: el coeficiente de Pearson

La lluvia de los 168 meses tiene media 165,6 mm, mediana 102,9 mm y desviación estándar 183,4 mm. ¿Cuánto vale el coeficiente de asimetría de Pearson, 3(x̄ − Me) ÷ σ?

Pregunta 5: quitar la cola

Si de los 168 meses de lluvia se quitan los 36 de Quibdó, Villavicencio y Leticia, las capitales más lluviosas, ¿qué pasa con la media y la mediana?

Pregunta 6 (tipo PISA): el subsidio

En un municipio, el ingreso mensual medio de los hogares es $3.000.000 y el mediano, $1.200.000. La alcaldía quiere ayudar a los hogares que ganan menos que un hogar típico.

¿Qué número conviene usar como referencia del hogar típico y por qué?