1.10 Medidas de Tendencia Central

Situación real

¿Cuánto llueve en una capital típica?

En Quibdó caen, en un año normal, 8.156,9 mm de lluvia: si toda esa agua se quedara quieta, formaría una capa de más de 8 metros. En Tunja caen 655,6 mm. Entre esas dos hay otras 12 capitales.

Si para un trabajo del colegio te piden un solo número para «la lluvia de una capital colombiana», ¿sacas el promedio? Mira primero qué le hace Quibdó a ese promedio.

Fuente: IDEAM, Normales Climatológicas Estándar 1991–2020, estación principal de cada capital.

Momento animado

La media es un punto de equilibrio

Dale a Reproducir o arrastra la barra. Mira qué le pasa a cada medida cuando llega Quibdó.

Una capital
Apoyo: la media x̄
Mediana Me

Avance0%

Etapas

Etapa 1 de 6 · Llegan los datos

Cada punto es una capital con la lluvia de su año normal; Quibdó llega después. Casi todas se amontonan a la izquierda: reciben menos de 2.000 mm.

Media (0 capitales)

—

Mediana (0 capitales)

—

Todavía no hay apoyo: la regla está sobre la mesa.

Fuente de los datos: IDEAM, Normales Climatológicas Estándar 1991–2020.

Media, mediana y moda

La media $\bar{x}$

El punto de equilibrio: se suman los datos y se divide entre cuántos son. Un dato extremo la jala hacia él.

$\bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n}$

La mediana Me

El dato del medio cuando los datos están ordenados. Si son pares, el promedio de los dos del medio. Un dato extremo casi no la mueve.

Posición: $\frac{n+1}{2}$

La moda Mo

El valor que más se repite. Puede haber una, varias o ninguna. Es la única que sirve para datos que no son números, como el color favorito.

Ejemplo rápido con 3, 7, 7, 2, 9, 7, 4: la media es $\frac{39}{7} \approx 5{,}57$ ; ordenados (2, 3, 4, 7, 7, 7, 9), la mediana es el 4.º dato, 7; y la moda también es 7, que aparece tres veces.

Concepto Clave

"Si los datos son simétricos, la media y la mediana quedan cerca. Si tienen una cola larga hacia un lado (la lluvia, los ingresos), la media se va hacia la cola y la mediana se queda con la mayoría."

Ejemplo resuelto: la lluvia típica

Con la lluvia anual de las 14 capitales, calcula la media y la mediana. ¿Cuál describe mejor la lluvia típica? ¿Qué pasa si se quita Quibdó?

1
Ordena los datos de menor a mayor (en mm)
655,6; 665,1; 827,4; 875,9; 877,3; 897,4; 920,5; 1.073,8; 1.611,3; 1.627,7; 1.758,4; 3.358,8; 4.517,4; 8.156,9.
2
Media: suma y divide entre 14
$\bar{x} = \frac{27\,823{,}5}{14} \approx 1\,987{,}4\ \text{mm}$
3
Mediana: n = 14 es par, así que promedia el 7.º y el 8.º dato
$\begin{aligned} \text{Me} &= \frac{920{,}5 + 1\,073{,}8}{2} \\ &= 997{,}15\ \text{mm} \end{aligned}$
4
Compara
La media es casi el doble de la mediana y 11 de las 14 capitales reciben menos lluvia que la media. La mediana describe mejor a la capital típica: la mitad recibe menos de unos 997 mm y la otra mitad, más.
5
Sin Quibdó quedan 13 datos
La mediana ahora es el 7.º dato, 920,5 mm: bajó unos 77 mm. La media baja unos 475 mm. Un solo dato extremo mueve mucho la media y poco la mediana: la mediana es resistente.
$\bar{x} = \frac{19\,666{,}6}{13} \approx 1\,512{,}8\ \text{mm}$

Laboratorio

Mueve la lluvia de Quibdó

Las otras 13 capitales se quedan quietas. ¿Cuándo se mueve la mediana?

Una capital
Apoyo: la media x̄
Mediana Me

Media

1.987,4 mm

Mediana

997,15 mm

Por debajo de la media: 11 de 14 capitales.

Lluvia de Quibdó8.156,9 mm

Quibdó está por encima del medio: la mediana es 997,15 mm, llueva lo que llueva en Quibdó. La media, en cambio, sube 1 mm por cada 14 mm más de lluvia en Quibdó.

Cuando unos datos pesan más: media ponderada y datos agrupados

Si cada dato tiene un peso, se multiplica cada uno por su peso, se suma y se divide entre la suma de los pesos.

\bar{x}_w = \frac{w_1 x_1 + w_2 x_2 + \cdots + w_k x_k}{w_1 + w_2 + \cdots + w_k}

La nota final. Los talleres valen 30%, los quices 30% y el examen 40%. Dayana sacó 4,0 en talleres, 3,5 en quices y 3,0 en el examen. Como los pesos suman 100%, basta multiplicar cada nota por su peso en decimal y sumar:

0{,}3 \cdot 4{,}0 + 0{,}3 \cdot 3{,}5 + 0{,}4 \cdot 3{,}0 = 1{,}20 + 1{,}05 + 1{,}20 = 3{,}45

El promedio simple de las tres notas sería 3,5; el examen, que pesa más, la baja.

Datos agrupados. En una tabla con intervalos, como [10, 20) y [20, 30), no se conocen los datos exactos. Cada intervalo se representa con su marca de clase, el punto medio, y su frecuencia hace de peso:

\bar{x} \approx \frac{\sum f_i \, x_i}{n}

Aquí $x_i$ es la marca de clase, $f_i$ la frecuencia del intervalo y $n$ el total de datos. Para la mediana en datos agrupados se usa $\text{Me} = L_i + \frac{\frac{n}{2} - F_{i-1}}{f_i} \cdot A$ , donde $L_i$ es el límite inferior del intervalo de la mediana, $F_{i-1}$ la frecuencia acumulada anterior y $A$ el ancho del intervalo.

Práctica

Ahora tú

8 preguntas. Las que dicen «tipo Saber 11» y las de lluvia salen del libro «Matemáticas para un mundo sostenible», capítulo 8, con datos del IDEAM.

Pregunta 1: media de datos agrupados

Las edades de los participantes de un taller están en esta tabla:

Edad	Marca ( $x_i$ )	Frecuencia ( $f_i$ )
[10, 20)	15	4
[20, 30)	25	6

¿Cuál es la edad media estimada del grupo?

Pregunta 2 (tipo PISA): el salario que representa

En un taller trabajan 6 personas. Los 5 operarios ganan $1.500.000 al mes cada uno y el dueño se paga $37.500.000. La media de los salarios es $7.500.000 y la mediana, $1.500.000.

Si vas a describir cuánto gana una persona típica del taller, ¿qué número usas y por qué?

Pregunta 3 (tipo Saber 11): formulación y ejecución

La lluvia de un año normal en tres capitales del Caribe es: Cartagena 1.073,8 mm, Barranquilla 920,5 mm y Riohacha 665,1 mm. ¿Cuál es su promedio?

Pregunta 4 (tipo Saber 11): argumentación

En las 14 capitales, la lluvia anual media es de 1.987 mm y la mediana es de 997 mm. ¿Qué explica mejor esa diferencia?

Pregunta 5 (tipo Saber 11): la nota final

En una materia, los talleres valen 30%, los quices 30% y el examen 40%. Si Dayana sacó 4,0, 3,5 y 3,0, respectivamente, ¿cuál es su nota final?

Pregunta 6: llega un dato extremo

Días con lluvia en un año normal, según el IDEAM: Bogotá 120, Tunja 105, Pasto 136, Bucaramanga 122 y Cali 98. Su media es 116,2 días y su mediana, 120. Si se agrega Quibdó, con 287 días, ¿qué pasa?

Pregunta 7: la nota que falta

El promedio de las cuatro primeras notas de Jhon Fredy es 3,6. ¿Qué nota necesita en la quinta para que su promedio quede en 3,8?

Pregunta 8: el promedio de dos grupos

En un salón, la estatura media de 20 hombres es 1,68 m y la de 15 mujeres es 1,59 m. ¿Cuál es la estatura media de todo el salón, redondeada a centímetros?