Áreas Sombreadas y Volúmenes

Módulo 3 · Lección 2

El Principio Rector: Área Total Menos Área no Deseada

Casi ningún área sombreada en la prueba Saber 11 tiene una fórmula directa de enciclopedia. Casi siempre se resuelven con una operación elemental: tomar el marco exterior conocido y restarle las piezas o huecos interiores:

Ecuación Universal de Área Sombreada

A_{\text{sombreada}} = A_{\text{exterior}} - A_{\text{huecos}}

El exterior es la figura grande; los huecos, lo que queda en blanco. Ejemplo: parque cuadrado con fuente circular → área sombreada = área del cuadrado − área del círculo.

Visualizador Interactivo

Laboratorio Dinámico de Áreas Sombreadas

Modifica el lado del parque y el diámetro de la fuente para observar cómo se calculan tanto la expresión algebraica exacta con $\pi$ como su valor decimal aproximado.

Laboratorio Interactivo · Descomposición Paso a Paso

El Parque y la Fuente Circular

Lado del Cuadrado (L):10 m

Diámetro de la Fuente (D):6 m (Radio r = 3 m)

1. Área del Cuadrado (Marco Exterior):

A_cuadrado = L² = 10² = 100 m²

2. Área del Círculo (Hueco a Restar):

A_círculo = π · r² = π · 3² = 9π m²(≈ 28,27 m²)

3. Área Sombreada de Césped (Resta Directa):

A_césped = 100 - 9π m²

Valor numérico aproximado: 100 - 28,27 = 71,73 m²

Formulario Rápido

Fórmulas Clave que el ICFES Supone que Sabes de Memoria

Figura Geométrica	Área (Superficie)	Perímetro (Contorno)
Cuadrado (lado L)	L²	4L
Rectángulo (base b, altura h)	b · h	2b + 2h
Triángulo (base b, altura h)	(b · h) / 2	L₁ + L₂ + L₃
Círculo (radio r)	π · r²	2 · π · r (o π · D)
Corona Circular (radios R y r)	π · (R² - r²)	2πR + 2πr

Geometría Espacial

Volumen y Cuerpos 3D: Área de la Base por la Altura

Para cualquier prisma recto o cilindro (cuerpos que conservan idéntica sección transversal desde el piso hasta la tapa superior), el volumen siempre se rige por:

Volumen Universal de Prismas y Cilindros Rectos

V = A_{\text{base}} \times h

Cilindro circular recto: V = (π · r²) · h. Prisma de base rectangular: V = (largo · ancho) · h.

1
Paso 1: Identifica y calcula el área de la base
Si la base es un círculo de radio 3 cm, su área en la base es π · 3² = 9π cm².
2
Paso 2: Multiplica por la altura del contenedor
Si la altura del cilindro es 10 cm, el volumen total es 9π · 10 = 90π cm³.
3
Paso 3: Conserva π en las alternativas de respuesta
En el ICFES las opciones suelen venir con π (ej: 90π). No pierdas minutos multiplicando por 3,1416 a mano salvo que las alternativas sean exclusivamente decimales.

Aplicación ICFES Clásica

Problemas de Desplazamiento de Líquidos (Arquímedes)

Un problema clásico consiste en sumergir un objeto sólido en un recipiente cilíndrico con agua y calcular el volumen del objeto o la elevación del nivel:

Principio de Desplazamiento de Volumen

V_{\text{objeto sumergido}} = A_{\text{base del cilindro}} \times \Delta h

Δh es únicamente el aumento o elevación en la altura del agua, no la altura total del recipiente.

Compruébalo

Un parque cuadrado de 10 metros de lado tiene una fuente circular en el centro cuyo diámetro es de 6 metros. El área restante del parque se cubrirá con césped. ¿Cuál es el área exacta de césped que se debe comprar?

Compruébalo

Un tanque cilíndrico de 4 metros de radio tiene agua hasta cierta altura. Al sumergir completamente una pieza metálica sólida, el nivel del agua asciende exactamente 2 metros sin que se derrame líquido. ¿Cuál es el volumen de la pieza metálica?

Compruébalo

Una pista atlética circular está delimitada por dos circunferencias concéntricas. La circunferencia exterior tiene un radio de 20 m y la interior de 15 m. ¿Cuál es el área total de la superficie de la pista?