Funciones Lineales: Interpretar la Pendiente y el Intercepto

Módulo 2 · Lección 4

¿Cuánto se enfría el aire por cada metro que subes?

Si viajas de Medellín a Bogotá, sientes el frío. Según las normales del IDEAM, la estación del aeropuerto Olaya Herrera, en Medellín, está a 1.492 m y tiene una temperatura media de 23,06 °C; la de El Dorado, en Bogotá, está a 2.547 m y tiene 13,93 °C. ¿Cuánto baja la temperatura por cada metro que se sube?

Razón de cambio

\begin{aligned} \frac{13{,}93 - 23{,}06}{2\,547 - 1\,492} &= \frac{-9{,}13}{1\,055} \\ &\approx -0{,}00865 \ {}^{\circ}\text{C}/\text{m} \end{aligned}

Por cada 1.000 m que se sube, la temperatura baja unos 8,7 °C. Ese número, con sus unidades, es una pendiente.

Una pendiente dice cuánto cambia una cantidad por cada unidad de otra: grados por metro, pesos por kilómetro, litros por minuto. Cuando ese cambio es el mismo en todos los tramos, la gráfica es una recta.

Momento animado

La recta del taxi se construye

Un taxi cobra $4.000 de banderazo y $1.200 por kilómetro (tarifa de ejemplo). Mira cómo cada kilómetro arma la recta.

Kilómetros recorridos0 km · $4.000

Etapas

Etapa 1 de 5 · Banderazo

Antes de recorrer un metro ya debes $4.000: el banderazo. Es donde la recta corta el eje vertical, el valor de y cuando x = 0. Ese número es b.

La idea en una fórmula

Dos números cuentan toda la historia: y = mx + b

En las preguntas tipo Saber 11, una función lineal casi nunca aparece como un ejercicio abstracto de álgebra: aparece encarnada en una tarifa de telefonía móvil, la carrera de un taxi con taxímetro, el vaciado de un tanque de agua o el salario de un vendedor con comisión. Tu misión es identificar dos piezas clave:

Modelo Universal de Función Afín

y = mx + b

Elemento	Significado Físico / Económico	Cómo se expresa en el enunciado
$b$	Condición inicial: valor de y cuando x = 0 (punto de partida)	"cargo fijo", "cuota base", "banderazo", "saldo previo", "altura inicial"
$m$	Razón de cambio: variación de y por cada unidad adicional de x	"por cada minuto", "costo por kilómetro", "litros por segundo", "comisión por venta"

Paso a Paso

Del Enunciado al Modelo Matemático

Un servicio de taxi cobra $\$4\,000$ de banderazo (arranque) y $\$1\,200$ por cada kilómetro recorrido.

1
Paso 1: Define las variables del problema
x = distancia recorrida en kilómetros; y = costo total de la carrera en pesos.
2
Paso 2: Identifica el valor constante que se paga una sola vez (b)
Es el corte con el eje y.
$b = 4\,000 \text{ pesos}$
3
Paso 3: Identifica la tasa unitaria que multiplica a x (m)
Es la pendiente, positiva porque cada kilómetro suma.
$m = 1\,200 \text{ pesos por km}$
4
Paso 4: Ensambla la ecuación de la recta
$y = 1\,200x + 4\,000$
5
Paso 5: Evalúa para cualquier distancia
Para una carrera de 9 km:
$\begin{aligned} y &= 1\,200(9) + 4\,000 \\ &= 10\,800 + 4\,000 \\ &= 14\,800 \text{ pesos} \end{aligned}$

La inclinación de la recta es la pendiente m: avanzar 3 km incrementa el costo en $3.600, lo que confirma una tasa unitaria de $1.200/km.

Laboratorio Interactivo

Comparación de Planes Tarifarios: El Punto de Equilibrio

Compara en vivo dos modelos de telefonía y descubre exactamente en qué umbral de consumo conviene cambiar de proveedor:

Laboratorio Didáctico Interactivo

Simulador de Punto de Equilibrio

Punto de Cruce: 60 min

Minutos consumidos al mes (x):80 minutos

Plan A (Cargo Fijo Alto, Costo por Minuto Bajo)

Cargo Base: $15.000Por minuto: $200

y_A = 200x + 15.000

Plan B (Cargo Fijo Bajo, Costo por Minuto Alto)

Cargo Base: $6.000Por minuto: $350

y_B = 350x + 6.000

Costo Total Plan A

$31.000

Costo Total Plan B

$34.000

Veredicto Óptimo

Conviene Plan A

Ahorro: $3.000

Regla de decisión: Para consumos inferiores al punto de corte (60 min), el Plan B es más económico gracias a su bajo cargo fijo inicial. Para consumos superiores a 60 min, el Plan A resulta siempre ganador porque su pendiente (200 $/min) crece a menor velocidad.

Compruébalo

Un gimnasio cobra una tarifa de inscripción inicial de $60.000 y una mensualidad de $45.000. ¿Cuál de las siguientes funciones modela el costo total C tras entrenar durante m meses?

Compruébalo

Dos empresas de encomiendas tienen tarifas distintas: la Empresa A cobra 200x + 15.000 pesos y la Empresa B cobra 350x + 6.000 pesos, donde x representa el peso del paquete en kilogramos. Si un cliente necesita enviar un paquete de 90 kg, ¿cuál empresa le resulta más económica?

Compruébalo

Un tanque de almacenamiento de agua contiene 1.200 litros en la mañana. Al abrir la llave de desagüe, el nivel desciende a razón constante de 40 litros por minuto. ¿Cuál es el modelo lineal que describe el volumen V(t) restante en el tanque tras t minutos?

Problema de aplicación · Temperatura y altitud

Entre Medellín (1.492 m, 23,06 °C) y Bogotá (2.547 m, 13,93 °C), según el IDEAM, la temperatura baja unos 0,00865 °C por cada metro que se sube. ¿Cuánto baja, más o menos, por cada 1.000 m?

Pregunta tipo Saber 11 · Razón de cambio

Según la NOAA, el promedio anual de CO₂ en el observatorio de Mauna Loa fue de 401,01 ppm en 2015 y de 427,35 ppm en 2025. ¿Cuál fue la razón de cambio promedio en ese periodo?

Interpretación · Qué dice cada número

Un taxi cobra según y = 1.200x + 4.000, donde x son los kilómetros recorridos y y el costo en pesos (tarifa de ejemplo). ¿Qué significa el 1.200?

De dónde salen los datos

IDEAM: normales climatológicas estándar 1991-2020, climatología de capitales (temperaturas de Medellín y Bogotá) y Catálogo Nacional de Estaciones (altitudes).
NOAA, Global Monitoring Laboratory: promedios anuales de CO₂ en Mauna Loa.