Desigualdad AM-GM y Cauchy-Schwarz

Módulo 8 · Desigualdades

La huerta del colegio

Para la huerta escolar hay 40 m de malla y se quiere cercar un rectángulo con la mayor área posible para sembrar. ¿Conviene un rectángulo largo y angosto o uno más parejo? Con derivadas se resuelve en Cálculo; aquí basta una desigualdad entre dos promedios.

Momento animado

La huerta de 40 metros

Con la misma malla de 40 m, cambia la forma de la huerta y mira cómo se dibuja la curva del área.

Un lado de la huerta1,0 m × 19,0 m

Etapas

Etapa 1 de 4 · Flaquita

Con 40 m de malla, si un lado mide x el otro mide 20 − x. Una huerta de 1 por 19 casi no tiene área: 19 m².

Módulo 8 · Desigualdades

La Desigualdad AM-GM

Para cualquier par de números reales no negativos $a, b \geq 0$ , la Media Aritmética nunca es menor que la Media Geométrica:

\frac{a + b}{2} \geq \sqrt{ab}, \quad \text{con igualdad } \iff a = b

Demostración en 2 líneas

Como $a, b \geq 0$ , existen $\sqrt{a}$ y $\sqrt{b}$ , y un cuadrado nunca es negativo: $(\sqrt{a} - \sqrt{b})^2 \geq 0$ . Desarrollando:

\begin{aligned} a - 2\sqrt{ab} + b &\geq 0 \\ \implies a + b &\geq 2\sqrt{ab} \\ \implies \frac{a+b}{2} &\geq \sqrt{ab} \end{aligned}

La igualdad se da exactamente cuando $\sqrt{a} - \sqrt{b} = 0$ , es decir, $a = b$ . ∎

Laboratorio

Laboratorio AM-GM

Cambia a y b: el radio es la media aritmética y la altura roja es la media geométrica.

Media aritmética (MA)

4,00

$\frac{3+5}{2}$

Media geométrica (MG)

3,87

$\sqrt{3 \cdot 5}$

Valor de

a

a = 3

Valor de

b

b = 5

MA − MG ≈ 0,127 > 0: la altura roja nunca alcanza al radio.

Forma General (n variables)

\frac{a_1 + a_2 + \cdots + a_n}{n} \geq \sqrt[n]{a_1 \cdot a_2 \cdots a_n}

Con igualdad si y solo si $a_1 = a_2 = \cdots = a_n$ .

Concepto Clave

"AM-GM: (a+b)/2 ≥ √(ab). La igualdad ocurre exactamente cuando a = b. Esta condición de igualdad es la clave para encontrar el máximo o mínimo."

Módulo 8 · Aplicaciones

Problemas con AM-GM

Problema 1 — Clásico AM-GM

Para $x > 0$ , ¿cuál es el valor mínimo de $x + \frac{1}{x}$ ?

Problema 2 — Nivel Medio AM-GM

Si $a + b + c = 3$ con $a, b, c > 0$ , ¿cuál es el valor máximo del producto $abc$ ?

Práctica · La huerta

Con 40 m de malla se cerca una huerta rectangular. ¿Cuál es el área más grande que puede tener?

Práctica · Un mínimo con AM-GM

Para

x > 0

, ¿cuál es el valor mínimo de

x + \frac{9}{x}

Concepto Clave

"Estrategia AM-GM: (1) Identifica los términos que formarán la desigualdad. (2) Aplica AM-GM. (3) Encuentra la condición de igualdad — eso da el extremo."

Módulo 8 · Desigualdades

La Desigualdad de Cauchy-Schwarz

Para cualesquiera reales $a_i, b_i$ :

\left(\sum_{i=1}^n a_i b_i\right)^2 \leq \left(\sum_{i=1}^n a_i^2\right)\left(\sum_{i=1}^n b_i^2\right)

Forma de Engel (o Titu)

La versión más útil en olimpiadas — también llamada desigualdad de Sedrakyan:

\frac{a_1^2}{b_1} + \frac{a_2^2}{b_2} + \cdots + \frac{a_n^2}{b_n} \geq \frac{(a_1 + a_2 + \cdots + a_n)^2}{b_1 + b_2 + \cdots + b_n}

Con $b_i > 0$ . Igualdad cuando $\frac{a_1}{b_1} = \frac{a_2}{b_2} = \cdots = \frac{a_n}{b_n}$ .

Problema — Nivel Olimpiada (Lema de Titu)

Si $a + b + c = 3$ con $a, b, c > 0$ , ¿cuál es el valor mínimo de:

\frac{a^2}{b+c} + \frac{b^2}{a+c} + \frac{c^2}{a+b}

Concepto Clave

"Cauchy-Schwarz (Forma Titu): Σ(aᵢ²/bᵢ) ≥ (Σaᵢ)²/(Σbᵢ). Es especialmente poderosa con fracciones de cuadrados — agrupa el numerador al cuadrado y el denominador abajo."