Desigualdad AM-GM y Cauchy-Schwarz

Modulo 8 · Desigualdades

La Desigualdad AM-GM

Para cualquier par de números reales no negativos $a, b \geq 0$ , la Media Aritmética nunca es menor que la Media Geométrica:

\frac{a + b}{2} \geq \sqrt{ab}, \quad \text{con igualdad } \iff a = b

🧮 Demostración en 2 líneas

Como $(a - b)^2 \geq 0$ siempre:

a^2 - 2ab + b^2 \geq 0 \implies a^2 + b^2 \geq 2ab \implies \frac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab}

La igualdad se da exactamente cuando $(a-b)^2 = 0$ , es decir, $a = b$ . ∎

Laboratorio AM-GM

Ajusta los valores y observa que la Media Aritmética siempre supera (o iguala) a la Geométrica

a

= 3

b

= 5

Media Aritmética

4.00

$\frac{3+5}{2}$

≥

Media Geométrica

3.87

$\sqrt{3 \cdot 5}$

AM − GM = 0.127 > 0 ✓

📐 Forma General (n variables)

\frac{a_1 + a_2 + \cdots + a_n}{n} \geq \sqrt[n]{a_1 \cdot a_2 \cdots a_n}

Con igualdad si y solo si $a_1 = a_2 = \cdots = a_n$ .

Concepto Clave

"AM-GM: (a+b)/2 ≥ √(ab). La igualdad ocurre exactamente cuando a = b. Esta condición de igualdad es la clave para encontrar el máximo o mínimo."

Modulo 8 · Aplicaciones

Problemas con AM-GM

Problema 1 — Clásico

Para $x > 0$ , halla el valor mínimo de $x + \frac{1}{x}$ .

Ver solución

Aplico AM-GM a los términos $x$ y $\frac{1}{x}$ :

\frac{x + \frac{1}{x}}{2} \geq \sqrt{x \cdot \frac{1}{x}} = 1

Por tanto $x + \frac{1}{x} \geq 2$ . La igualdad ocurre cuando $x = \frac{1}{x}$ , es decir $x = 1$ .

Mínimo =

2

, alcanzado en

x = 1

. ∎

Problema 2 — Nivel Medio

Si $a + b + c = 3$ con $a, b, c > 0$ , halla el valor máximo de $abc$ .

Ver solución

Por AM-GM con tres variables:

\frac{a + b + c}{3} \geq \sqrt[3]{abc}

1 = \frac{3}{3} \geq \sqrt[3]{abc} \implies abc \leq 1

La igualdad ocurre cuando $a = b = c = 1$ .

Máximo de

abc = 1

, alcanzado en

a = b = c = 1

. ∎

Concepto Clave

"Estrategia AM-GM: (1) Identifica los términos que formarán la desigualdad. (2) Aplica AM-GM. (3) Encuentra la condición de igualdad — eso da el extremo."

Modulo 8 · Desigualdades

La Desigualdad de Cauchy-Schwarz

Para cualesquiera reales $a_i, b_i$ :

\left(\sum_{i=1}^n a_i b_i\right)^2 \leq \left(\sum_{i=1}^n a_i^2\right)\left(\sum_{i=1}^n b_i^2\right)

🎯 Forma de Engel (o Titu)

La versión más útil en olimpiadas — también llamada Sedrakyan's inequality:

\frac{a_1^2}{b_1} + \frac{a_2^2}{b_2} + \cdots + \frac{a_n^2}{b_n} \geq \frac{(a_1 + a_2 + \cdots + a_n)^2}{b_1 + b_2 + \cdots + b_n}

Con $b_i > 0$ . Igualdad cuando $\frac{a_1}{b_1} = \frac{a_2}{b_2} = \cdots = \frac{a_n}{b_n}$ .

Problema — Nivel Olimpiada

Si $a + b + c = 3$ con $a, b, c > 0$ , demuestra que:

\frac{a^2}{b+c} + \frac{b^2}{a+c} + \frac{c^2}{a+b} \geq \frac{3}{2}

Ver solución con Titu

Aplicamos la forma de Engel (Titu) con $a_i = a, b, c$ y $b_i = b+c, a+c, a+b$ :

\frac{a^2}{b+c} + \frac{b^2}{a+c} + \frac{c^2}{a+b} \geq \frac{(a+b+c)^2}{(b+c)+(a+c)+(a+b)}

= \frac{(a+b+c)^2}{2(a+b+c)} = \frac{a+b+c}{2} = \frac{3}{2}

\displaystyle\sum \frac{a^2}{b+c} \geq \frac{3}{2}

∎

La igualdad ocurre cuando $\frac{a}{b+c} = \frac{b}{a+c} = \frac{c}{a+b}$ , lo que fuerza $a = b = c = 1$ .

Concepto Clave

"Cauchy-Schwarz (Forma Titu): Σ(aᵢ²/bᵢ) ≥ (Σaᵢ)²/(Σbᵢ). Es especialmente poderosa con fracciones de cuadrados — agrupa el numerador al cuadrado y el denominador abajo."