Identidades y Manipulación Algebraica

Módulo 8 · Álgebra

47 por 53 de cabeza

¿Cuánto es 47 · 53? Sin calculadora parece largo, pero 47 = 50 − 3 y 53 = 50 + 3, así que $47 \cdot 53 = 50^2 - 3^2 = 2\,500 - 9 = 2\,491$ . Ese atajo es una identidad, y en las olimpiadas las identidades ahorran páginas de cuentas. Antes de usarla, mira por qué es cierta con un cuadrado de cartulina y unas tijeras.

Momento animado

Cortar y mover: a² − b²

Quita un cuadrado pequeño de uno grande y reacomoda lo que queda. Mira qué rectángulo sale.

Avancequitar b²

Etapas

Etapa 1 de 5 · a²

Un cuadrado de lado a = 7: su área es a² = 49. En la esquina de abajo a la derecha se marca un cuadrado de lado b = 3.

Módulo 8 · Desigualdades

Problema 1.1: La Identidad del Cuadrado

Nivel Intermedio

Identidades Algebraicas Ocultas

Sean $a + b + c = 0$ y $a^2 + b^2 + c^2 = 18$ .

¿Cuál es el valor de $ab + bc + ca$ ?

Concepto Clave

"(a+b+c)² = a²+b²+c² + 2(ab+bc+ca). Si conoces la suma y la suma de cuadrados, puedes hallar la suma de productos cruzados."

Módulo 8 · Desigualdades

Problema 1.2: Sumas de Cuadrados

Nivel Avanzado — Manipulación

Si $x \cdot y = 15$ y $x + y = 8$ , ¿cuánto vale $x^2 + y^2$ ?

Concepto Clave

"x²+y² = (x+y)² - 2xy. Nunca necesitas hallar x e y individualmente. Las identidades te dan atajos directos."

Módulo 8 · Desigualdades

Problema 1.3: Potencias Recursivas

Nivel Olimpiada — Recursión Algebraica

Si $x + \frac{1}{x} = 4$ , ¿cuál es el valor de $x^5 + \frac{1}{x^5}$ ?

Concepto Clave

"Si conoces x + 1/x = k, puedes escalar a xⁿ + 1/xⁿ multiplicando paso a paso: s(n) = k·s(n-1) - s(n-2)."

Práctica · Multiplicar de cabeza

Con la diferencia de cuadrados, ¿cuánto es

47 \cdot 53

Práctica · Números grandes

¿Cuánto es

2027^2 - 2026^2