Identidades y Manipulación Algebraica

Domina las identidades algebraicas ocultas: (a+b+c)², sumas de cuadrados, y potencias recursivas.

Modulo 8 · Desigualdades

Problema 1.1: La Identidad del Cuadrado

Nivel Intermedio

Sean $a + b + c = 0$ y $a^2 + b^2 + c^2 = 18$ .

¿Cuál es el valor de $ab + bc + ca$ ?

"(a+b+c)² = a²+b²+c² + 2(ab+bc+ca). Si conoces la suma y la suma de cuadrados, puedes hallar la suma de productos cruzados."

Modulo 8 · Desigualdades

Nivel Avanzado — Manipulación

Si $x \cdot y = 15$ y $x + y = 8$ , ¿cuánto vale $x^2 + y^2$ ?

Ver Solución Paso a Paso

Identidad a usar

(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2

Despejar lo pedido

x^2 + y^2 = (x+y)^2 - 2xy = 8^2 - 2(15) = 64 - 30 = 34

x^2 + y^2 = 34

"x²+y² = (x+y)² - 2xy. Nunca necesitas hallar x e y individualmente. Las identidades te dan atajos directos."

Modulo 8 · Desigualdades

Nivel Olimpiada — Recursión Algebraica

Si $x + \frac{1}{x} = 4$ , ¿cuál es el valor de $x^5 + \frac{1}{x^5}$ ?

"Si conoces x + 1/x = k, puedes escalar a xⁿ + 1/xⁿ multiplicando paso a paso: s(n) = k·s(n-1) - s(n-2)."