Problemas de Olimpiada — Teoría de Números

Modulo 6 · Combinatoria

Examen de Olimpiada — Teoría de Números

Has completado el Bloque I. Ahora enfréntate a 5 problemas reales de olimpiadas internacionales. Intenta resolverlos antes de ver la solución.

⏱ Estrategia recomendada: Dedica 15 min a cada problema antes de ver la pista. 30 min antes de la solución.

Problema 1

OCM — Nivel Regional

★★☆

Demuestre que para todo entero positivo $n$ , el número $n^2 + 3n + 5$ no es divisible por 121.

💡 Pista

Trabaja módulo 11 primero. Completa el cuadrado.

📝 Solución Completa

Completar cuadrado: $n^2 + 3n + 5 = (n + \frac{3}{2})^2 + \frac{11}{4}$ . Mejor, trabajamos mod 11:

$4(n^2 + 3n + 5) = (2n+3)^2 + 11$

Mod 11: $4(n^2+3n+5) \equiv (2n+3)^2 \pmod{11}$ .

Si $121 \mid n^2+3n+5$ , entonces $11 \mid n^2+3n+5$ , lo que implica $11 \mid (2n+3)^2$ , así $11 \mid 2n+3$ .

Sea $2n+3 = 11k$ . Entonces $n^2+3n+5 = \frac{(11k)^2 + 11}{4} = \frac{121k^2+11}{4} = \frac{11(11k^2+1)}{4}$ .

Para que $121 \mid n^2+3n+5$ necesitamos $11 \mid \frac{11k^2+1}{4}$ , pero $11k^2+1 \equiv 1 \pmod{11}$ .

11 \nmid 1

, así que

121 \nmid n^2+3n+5

para todo

n

. ∎

Problema 2

OIM 2015

★★★

Encuentre todos los enteros positivos $n$ tales que $3^n - 1$ es divisible por $2^n$ .

💡 Pista

Prueba con n = 1, 2, 3, 4, ... y busca el patrón. Usa el Lifting Lemma (LTE).

📝 Solución Completa

Verificar: $n=1: 2 \mid 2$ ✓. $n=2: 4 \mid 8$ ✓. $n=3: 8 \mid 26$ ? No. $n=4: 16 \mid 80$ ✓.

Para $n \geq 3$ impar: $v_2(3^n - 1) = v_2(3-1) + v_2(n) = 1 + v_2(n)$ por LTE, que es mucho menor que $n$ .

Para $n = 2^k \cdot m$ : $v_2(3^n - 1) = v_2(3^{2^k} - 1) + v_2(m)$ .

$v_2(3^{2^k} - 1) = k + 2$ (se prueba por inducción). Así necesitamos $k + 2 + v_2(m) \geq n = 2^k m$ .

Las soluciones son

n \in \{1, 2, 4\}

Problema 3

IMO 2005 — Problema 4

★★★★

Determine todos los pares $(a, b)$ de enteros positivos tales que $\frac{a^2}{2ab^2 - b^3 + 1}$ es un entero positivo.

💡 Pista

Fija b y varía a. Si (a₁, b) es solución, busca otra solución (a₂, b) con a₁a₂ = ... (Vieta jumping).

📝 Solución (Esquema)

Sea $k = \frac{a^2}{2ab^2 - b^3 + 1}$ . Entonces $a^2 - 2kb^2 a + k(b^3 - 1) = 0$ .

Si $a_1$ es solución, por Vieta: $a_1 + a_2 = 2kb^2$ y $a_1 a_2 = k(b^3-1)$ .

Técnica de Vieta jumping: descender por soluciones hasta llegar a contradecir positividad o encontrar las soluciones base.

Respuesta:

a = 2b^2 - b

a = b

(con las restricciones correspondientes).

Problema 4

OCM 2022 — Final

★★★

Encuentre todos los primos $p$ tales que $p^2 + 2$ también es primo.

📝 Solución

Trabajar mod 3. Todo primo $p \neq 3$ satisface $p \equiv 1$ o $2 \pmod{3}$ .

En ambos casos: $p^2 \equiv 1 \pmod{3}$ , así $p^2 + 2 \equiv 0 \pmod{3}$ .

Pero $p^2 + 2 > 3$ para $p \geq 2$ , así que no es primo.

Verificar $p = 3$ : $9 + 2 = 11$ . ¡11 es primo!

Único primo:

p = 3

Problema 5 — DESAFÍO FINAL

IMO Shortlist

★★★★★

Demuestre que $\frac{(2^p - 1)(2^p - 2)(2^p - 4)\cdots(2^p - 2^{p-1})}{p!}$ es un entero impar para todo primo $p$ .

💡 Pista

El numerador cuenta algo: es el número de bases ordenadas de $\mathbb{F}_2^p$ . Usa la fórmula de Legendre para $v_2(p!)$ .

📝 Esquema de Solución

El numerador es $\prod_{k=0}^{p-1}(2^p - 2^k) = 2^{0+1+\cdots+(p-1)} \prod_{k=0}^{p-1}(2^{p-k} - 1)$ .

Potencia de 2 en el numerador: $\frac{p(p-1)}{2}$ .

Potencia de 2 en $p!$ (Legendre): $\sum_{i=1}^{\infty} \lfloor p/2^i \rfloor = p - 1$ (pues p es primo impar).

Así $v_2(\text{cociente}) = \frac{p(p-1)}{2} - (p-1) = \frac{(p-1)(p-2)}{2}$ , que está en el numerador reducido.

Este número cuenta las matrices invertibles p×p sobre

\mathbb{F}_2

, dividido por

p!

. Es entero por interpretación combinatoria. ∎

¡Bloque I Completado!

Has dominado Divisibilidad, Primos, Euclides, Diofánticas, Aritmética Modular, Fermat, Euler y Potencias Modulares. Siguiente: Bloque II — Combinatoria.