Problemas de Olimpiada — Teoría de Números

Módulo 6 · Teoría de Números

Examen de Olimpiada — Teoría de Números

Has completado el Bloque I. Ahora enfréntate a 5 problemas de nivel olimpiada, entre ellos uno de la IMO 2003. Intenta resolverlos antes de ver la solución.

Estrategia recomendada: Dedica 15 min a cada problema antes de ver la pista. 30 min antes de la solución.

Un calentamiento: ver antes de demostrar

Antes del examen, un hecho que aparece escondido en muchos problemas: el cuadrado de cualquier número impar deja residuo 1 al dividir entre 8. Con 3, 5 y 7: $9 = 8 + 1$ , $25 = 3 \cdot 8 + 1$ , $49 = 6 \cdot 8 + 1$ . Tres ejemplos no demuestran nada; un dibujo bien hecho, sí.

Momento animado

Ocho escaleras y un punto

Reparte los 49 puntos de 7² en grupos iguales. Mira cuántos grupos salen y qué sobra.

Avanceel centro

Etapas

Etapa 1 de 4 · 7 por 7

Un número impar al cuadrado, como 7² = 49, se dibuja como un cuadrado de 7 por 7 puntos. Tiene un punto justo en el centro.

Ejemplo resuelto: la demostración con letras

Un impar es

n = 2k + 1

Su cuadrado

n^2 = 4k^2 + 4k + 1 = 4k(k + 1) + 1

k y k + 1 son consecutivos: uno es par, así que k(k + 1) = 2m

n^2 = 4 \cdot 2m + 1 = 8m + 1

Por eso

n^2 \equiv 1 \pmod 8

Problema 1

Problema clásico de olimpiada

Demuestre que para todo entero positivo $n$ , el número $n^2 + 3n + 5$ no es divisible por 121:

Problema 2

Problema clásico de olimpiada (LTE)

Encuentre todos los enteros positivos $n$ tales que $3^n - 1$ es divisible por $2^n$ :

Problema 3

IMO 2003 — Problema 2

Para hallar los pares $(a, b)$ donde $\frac{a^2}{2ab^2 - b^3 + 1}$ es entero positivo, ¿qué técnica de olimpiada resuelve el problema?

Problema 4

Problema clásico de olimpiada

Encuentre todos los primos $p$ tales que $p^2 + 2$ también es primo:

Problema 5 — DESAFÍO FINAL

Desafío de nivel olimpiada

Demuestre que $\frac{(2^p - 1)(2^p - 2)(2^p - 4)\cdots(2^p - 2^{p-1})}{p!}$ es un entero para todo primo $p$ :

¡Bloque I Completado!

Has dominado Divisibilidad, Primos, Euclides, Diofánticas, Aritmética Modular, Fermat, Euler y Potencias Modulares. Siguiente: Bloque II — Combinatoria.