Criterios de Divisibilidad y Trucos Olímpicos

Modulo 5 · Teoría de Números

Criterios Esenciales

En una olimpiada, cada segundo cuenta. Estos criterios permiten verificar divisibilidad mentalmente:

Divisor	Criterio	Ejemplo
2	Último dígito par	1234 → 4 par ✓
3	Suma de dígitos divisible por 3	123 → 1+2+3=6, 3\|6 ✓
4	Últimos 2 dígitos div. por 4	1316 → 16, 4\|16 ✓
5	Termina en 0 o 5	2025 → 5 ✓
6	Divisible por 2 Y por 3	312 → par, 3+1+2=6 ✓
7	Duplicar último, restar del resto	371 → 37-2=35, 7\|35 ✓
8	Últimos 3 dígitos div. por 8	1024 → 024=24, 8\|24 ✓
9	Suma de dígitos divisible por 9	729 → 7+2+9=18, 9\|18 ✓
11	Suma alternante div. por 11	121 → 1-2+1=0, 11\|0 ✓

"El criterio del 3 y del 9 funcionan porque 10 ≡ 1 (mod 3) y (mod 9). El del 11 funciona porque 10 ≡ -1 (mod 11)."

Todos los criterios vienen de la aritmética modular. Un número $N = a_n \cdot 10^n + \cdots + a_1 \cdot 10 + a_0$ :

Mod 3 y Mod 9:

$10 \equiv 1 \pmod{9}$ → $10^k \equiv 1$ → $N \equiv a_n + \cdots + a_1 + a_0$

Mod 11:

$10 \equiv -1 \pmod{11}$ → $10^k \equiv (-1)^k$ → $N \equiv a_0 - a_1 + a_2 - \cdots$

Mod 4 y Mod 8:

$100 \equiv 0 \pmod{4}$ , $1000 \equiv 0 \pmod{8}$ → solo importan los últimos dígitos

"Entender POR QUÉ funciona cada criterio te permite inventar criterios nuevos para cualquier módulo."

Pregunta 1/6 — Puntos: 0

¿Es $3 \mid 123456789$ ?

¿3 divide a 123456789?

Desafío

Demuestre que $10^n + 18n - 1$ es divisible por 27 para todo $n \geq 1$ .

Ver Solución

Trabajamos mod 27. Como $10 = 27 - 17$ , tenemos $10 \equiv -17 \pmod{27}$ .

Mejor: $10 \equiv 10 \pmod{27}$ . Veamos por inducción:

Base: $n=1$ : $10 + 18 - 1 = 27$ . ✓

Paso: Si $27 \mid 10^n + 18n - 1$ , entonces:

$10^{n+1} + 18(n+1) - 1 = 10 \cdot 10^n + 18n + 17$

$= 10(10^n + 18n - 1) - 162n + 27 = 10 \cdot (\text{múlt. de 27}) - 27(6n-1)$

Ambos términos son múltiplos de 27. ∎