Criterios de Divisibilidad y Trucos Olímpicos

Módulo 5 · Teoría de Números

¿Es 2.025 múltiplo de 9?

El año 2025 fue un cuadrado perfecto: $45 \cdot 45 = 2\,025$ . ¿Es múltiplo de 9? Sin dividir: sus cifras suman $2 + 0 + 2 + 5 = 9$ , así que sí. Casi todo el mundo se sabe ese truco, pero pocos saben por qué funciona. Míralo, porque el porqué es lo que sirve en una olimpiada.

Momento animado

Por qué funciona el criterio del 9

Aparta los múltiplos de 9 que esconde cada cifra y cuenta lo que sobra.

Avancelas cifras

Etapas

Etapa 1 de 4 · Las cifras

2.025 son 2 miles, 0 centenas, 2 decenas y 5 unidades: 2 · 1.000 + 0 · 100 + 2 · 10 + 5.

Criterios Esenciales

En una olimpiada, cada segundo cuenta. Estos criterios permiten verificar divisibilidad mentalmente:

Divisor	Criterio	Ejemplo
2	Último dígito par	1234 → 4 par ✓
3	Suma de dígitos divisible por 3	123 → 1+2+3=6, 3\|6 ✓
4	Últimos 2 dígitos div. por 4	1316 → 16, 4\|16 ✓
5	Termina en 0 o 5	2025 → 5 ✓
6	Divisible por 2 Y por 3	312 → par, 3+1+2=6 ✓
7	Duplicar último, restar del resto	371 → 37-2=35, 7\|35 ✓
8	Últimos 3 dígitos div. por 8	1024 → 024=24, 8\|24 ✓
9	Suma de dígitos divisible por 9	729 → 7+2+9=18, 9\|18 ✓
11	Suma alternante div. por 11	121 → 1-2+1=0, 11\|0 ✓

Concepto Clave

"El criterio del 3 y del 9 funcionan porque 10 ≡ 1 (mod 3) y (mod 9). El del 11 funciona porque 10 ≡ -1 (mod 11)."

¿Por qué funcionan? — La explicación modular

Todos los criterios vienen de la aritmética modular. Un número $N = a_n \cdot 10^n + \cdots + a_1 \cdot 10 + a_0$ :

Mod 3 y Mod 9:

$10 \equiv 1 \pmod{9}$ → $10^k \equiv 1$ → $N \equiv a_n + \cdots + a_1 + a_0$

Mod 11:

$10 \equiv -1 \pmod{11}$ → $10^k \equiv (-1)^k$ → $N \equiv a_0 - a_1 + a_2 - \cdots$

Mod 4 y Mod 8:

$100 \equiv 0 \pmod{4}$ , $1000 \equiv 0 \pmod{8}$ → solo importan los últimos dígitos

Concepto Clave

"Entender POR QUÉ funciona cada criterio te permite inventar criterios nuevos para cualquier módulo."

Prueba relámpago

Pregunta 1/6 — Puntos: 0

¿Es $3 \mid 123\,456\,789$ ?

¿3 divide a 123.456.789?

Problemas de Olimpiada

Divisibilidad Algebraica por 27

Demuestre que $10^n + 18n - 1$ es divisible por 27 para todo $n \geq 1$ :

Práctica · El criterio del 9

¿Es 7.326 múltiplo de 9?

Práctica · La cifra que falta

En el número de tres cifras 4?8, ¿qué cifra hay que poner en lugar de ? para que sea múltiplo de 9?

Práctica · El residuo

¿Cuál es el residuo de 1.000.000 al dividir entre 9?