Aritmética Modular — El Reloj Matemático

Módulo 5 · Teoría de Números

¿Qué día será dentro de 100 días?

El lunes 26 de octubre de 2026 empieza un reto de 100 días. ¿Qué día de la semana es el día 100? Contar uno por uno en el calendario es largo. Los días de la semana se repiten cada 7, como las horas en un reloj: solo importa lo que sobra después de las semanas completas.

Momento animado

El reloj de la semana

¿Qué día de la semana será dentro de 100 días? Mira cómo la aguja da vueltas en un reloj de 7.

Días que pasandía 0

Etapas

Etapa 1 de 5 · Día 0

Hoy es lunes 26 de octubre de 2026. Cada día, la aguja avanza una posición en un reloj de 7: los días de la semana.

Congruencias: La Idea

Si hoy es miércoles, ¿qué día será dentro de 100 días? No necesitas contar uno a uno: $100 = 14 \times 7 + 2$ . Será viernes. ¡Eso es aritmética modular!

a \equiv b \pmod{m} \iff m \mid (a - b)

Leemos: "a es congruente con b módulo m". Significa que $a$ y $b$ dejan el mismo residuo al dividir entre $m$ .

Laboratorio

Reloj modular

Mira $23 \bmod 7$ como un reloj de 7 posiciones.

$23 \equiv 2 \pmod{7}$

Misma clase: …, 9, 16, 23, 30, 37, …

Módulo

m

m = 7

Valor

n

n = 23

23 = 3 · 7 + 2: 3 vueltas completas y 2 pasos más. Por eso 23 ≡ 2 (mod 7).

Concepto Clave

"La aritmética modular convierte un problema con números enormes en un problema con números pequeños. Eso es su poder."

Operaciones Modulares

Suma

(a + b) \bmod m = ((a \bmod m) + (b \bmod m)) \bmod m

Producto

(a \cdot b) \bmod m = ((a \bmod m) \cdot (b \bmod m)) \bmod m

Potencia

a^n \bmod m = (a \bmod m)^n \bmod m

NO se puede dividir directamente

$ac \equiv bc \pmod{m}$ no implica $a \equiv b \pmod{m}$ siempre. Solo funciona si $\gcd(c, m) = 1$ .

¿Cómo se "divide" en aritmética modular?

Usando el inverso modular: el número $a^{-1}$ tal que $a \cdot a^{-1} \equiv 1 \pmod{m}$ . Existe si y solo si $\gcd(a, m) = 1$ .

Ejemplo: ¿Cuánto es $3^{-1} \pmod{7}$ ?

Busco $b$ tal que $3b \equiv 1 \pmod{7}$ . Probando: $3 \times 5 = 15 = 2 \times 7 + 1 \equiv 1$ . ✓

Por tanto $3^{-1} \equiv 5 \pmod{7}$ . Para calcular $\frac{2}{3} \pmod{7}$ : $2 \times 5 = 10 \equiv 3$ .

El Algoritmo de Euclides Extendido (Módulo 6) calcula el inverso modular eficientemente.

Laboratorio

Tabla de operaciones módulo 5

Elige suma o producto y cambia el módulo.

Tabla de sumas módulo 5
+	0	1	2	3	4
0	0	1	2	3	4
1	1	2	3	4	0
2	2	3	4	0	1
3	3	4	0	1	2
4	4	0	1	2	3

Da 0 (opuestos)

Módulo

m

m = 5

En cada fila el 0 aparece una sola vez: todo número tiene su opuesto. Por ejemplo, 2 + 3 ≡ 0 (mod 5).

Concepto Clave

"Puedes sumar, restar y multiplicar módulo m sin problemas. Para 'dividir' por c, multiplica por su inverso modular c⁻¹ (que existe solo si gcd(c,m) = 1)."

Problemas de Olimpiada

Último dígito de potencias

¿Cuál es el último dígito de $7^{2023}$ ?

Residuo de un factorial

¿Cuál es el residuo de $100!$ al dividir entre 7?

Práctica · El reloj de la semana

Si hoy es lunes, ¿qué día de la semana será dentro de 100 días?

Problema de aplicación · Un año después

El 26 de octubre de 2026 es lunes. ¿Qué día de la semana será el 26 de octubre de 2027? (Entre esas fechas no hay 29 de febrero.)

Práctica · Residuos de números negativos

¿Cuál es el residuo de −10 al dividir entre 7 (el número r con 0 ≤ r < 7 tal que −10 ≡ r mod 7)?