Divisibilidad y el Algoritmo de la División

Módulo 5 · Teoría de Números

¿Alguien se queda sin pareja?

Para un trabajo en parejas, en 11.° A hay 31 estudiantes y en 11.° B, 27 (números de ejemplo). En cada curso alguien se queda solo, porque 31 y 27 son impares. Pero si los dos cursos trabajan juntos, son 58 y nadie queda solo. ¿Pasa siempre que se juntan dos números impares?

Probar con muchos casos no basta: hay que escribir con letras lo que dicen las palabras. Un número es par si se puede escribir $2k$ e impar si se puede escribir $2k + 1$ , con $k$ entero.

Momento animado

Impar más impar

Un número es par si se puede armar todo en parejas. Mira qué pasa con los que sobran al sumar dos impares.

Avancedos impares

Etapas

Etapa 1 de 4 · El 7

Un número impar, como el 7, se arma con parejas y le sobra uno: 7 = 2 · 3 + 1. Todo impar se puede escribir 2m + 1.

Álgebra de la Paridad

En las olimpiadas de matemáticas, el concepto de Paridad es una de las herramientas más simples y poderosas para resolver problemas complejos o demostrar que algo es imposible. Un número entero es Par si es divisible por 2, e Impar si no lo es.

Notación Algebraica

Par
$n = 2k$ para algún entero $k$ .
Impar
$n = 2k + 1$ (o $2k - 1$ ) para algún entero $k$ .

Reglas de Operación

Suma y Resta

Par ± Par = Par
Impar ± Impar = Par
Par ± Impar = Impar

Multiplicación

Par × Cualquier Entero = Par
Impar × Impar = Impar

El producto de enteros es impar si y solo si TODOS sus factores son impares.

Concepto Clave

"La paridad siempre se conserva bajo operaciones de suma y multiplicación según reglas predecibles."

El Algoritmo de la División

Cuando divides caramelos entre un número de niños, a menudo sobran algunos que no se pueden repartir equitativamente. Esta idea cotidiana es el corazón de la Divisibilidad.

Teorema de la División (División Euclídea)

Dados dos números enteros $a$ y $b$ (con $b > 0$ ), existen enteros únicos $q$ (cociente) y $r$ (residuo) tales que:

a = bq + r \quad \text{donde} \quad 0 \le r < b

• Si $r = 0$ , decimos que $b$ divide a $a$ , y se denota como $b \mid a$ .

• El residuo $r$ NUNCA puede ser mayor o igual que el divisor $b$ .

Laboratorio

El algoritmo de la división

Cambia cuántos elementos hay y de a cuántos se agrupan.

17 = 5 × 3 + 2

$a = b \cdot q + r$ , con $0 \le r < b$

Grupos completos: 3 (q)

Sueltos: 2 (r)

Dividendo

a

(total de elementos)a = 17

Divisor

b

(tamaño del grupo)b = 5

Sobran 2: 5 no divide a 17. El residuo siempre es menor que el divisor (2 < 5).

Concepto Clave

"Todo número entero 'a' puede expresarse de la forma bq+r. El residuo 'r' está estrictamente limitado entre 0 y b-1."

Divisibilidad en Factoriales

En las olimpiadas, es muy común encontrarse con factoriales: $n! = 1 \times 2 \times 3 \times \dots \times n$ . Una pregunta clásica es: ¿Es $n!$ divisible por un cierto número compuesto $k$ ?

La clave NO es calcular el factorial enorme. La clave es descomponer el divisor $k$ en sus factores primos y preguntarse:
"¿Es la red del factorial $n!$ lo suficientemente grande como para atrapar a todos estos factores primos?"

El Efecto Cuello de Botella

Generalmente, el factor primo más grande de tu divisor será el "cuello de botella" que determina cuán grande debe ser $n$ .

Ejemplo rápido

¿Cuál es el menor n tal que n! es divisible por 77?

k = 77

Factorizamos 77 en primos.

77 = 7 \times 11

Para tener el factor 11 en nuestro producto, el factorial debe llegar al menos al número 11.

n \ge 11

El 11! incluirá al 11 y también incluirá al 7. Por lo tanto, el menor es 11.

11! = 1 \times 2 \dots \times 7 \dots \times 11

Problemas de Nivel Olimpiada

Paridades de expresiones algebraicas

Si $n$ es un entero par, ¿cuál de los siguientes números es obligatoriamente impar?

Divisibilidad Extrema

Dado $n$ entero positivo, ¿cuál es el menor entero $n$ tal que $n!$ es divisible por 2730?

Práctica · Parejas

En un curso hay 31 estudiantes y en otro 27. Si trabajan juntos en parejas, ¿cuántas parejas se forman y cuántos quedan solos?

Argumentación · ¿Siempre par?

Si n es un entero cualquiera, ¿cuál de estas expresiones es par siempre?

Práctica · El algoritmo de la división

Al dividir −17 entre 5 con el algoritmo de la división (a = bq + r con 0 ≤ r < b), ¿cuáles son el cociente q y el residuo r?