Módulo 4: Geometría Euclidiana y Áreas

Módulo 4 · Geometría

Una suma que no se mueve

Imagina una cancha con forma de triángulo equilátero y tres cercas, una en cada lado. Desde cualquier punto de la cancha caminas en línea recta hasta cada cerca. Si te paras cerca de una cerca, ese camino es corto, pero los otros dos se alargan. ¿Cambia la suma de los tres caminos? En geometría olímpica, encontrar lo que no cambia (un invariante) suele ser la clave.

Momento animado

Tres distancias que suman lo mismo

Un punto se pasea dentro de un triángulo equilátero. Mira la barra de la derecha: las tres distancias apiladas.

Paseo del puntosuma 5,20

Etapas

Etapa 1 de 4 · Tres distancias

Un triángulo equilátero de lado 6 y un punto adentro. Desde el punto se baja una perpendicular a cada lado: tres distancias.

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Propiedades Métricas

El poder de los trazos auxiliares

Un "trazo auxiliar" es una línea que dibujas en el gráfico para conectar información. El más común es la altura en triángulos isósceles y equiláteros.

Teorema de Viviani (Triángulos Equiláteros)

Para cualquier punto en el interior de un triángulo equilátero, la suma de las distancias perpendiculares a los lados es siempre igual a la altura total del triángulo.

d_1 + d_2 + d_3 = h = \frac{\sqrt{3}}{2}L

Concepto Clave

"Todo triángulo isósceles esconde dos triángulos rectángulos idénticos si trazas la altura hacia la base."

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Triángulos Ocultos en Polígonos

Resolviendo problemas de distancia en cuadrículas

Cuando te pidan la distancia entre vértices no adyacentes de figuras cuadradas, nunca intentes calcular diagonales parciales. Trata a la línea como la hipotenusa de un gran triángulo rectángulo auxiliar paralelo a los ejes.

Laboratorio

Cuadrados adyacentes

Cambia los lados y mira la recta roja como la hipotenusa de un triángulo grande.

Muestra el triángulo auxiliar para calcular la recta roja.

Lado del cuadrado pequeños₁ = 3

Lado del cuadrado grandes₂ = 15

Sin calcular diagonales parciales: la recta roja es la hipotenusa de un triángulo con catetos paralelos a los lados.

Concepto Clave

"Si una línea conecta dos puntos, imagina un rectángulo o triángulo que la envuelva (proyecciones X e Y)."

Banco de Problemas

Problemas de entrenamiento nivel olimpiada

Instrucciones: Intenta responder cada problema antes de ver la solución. Usa las Pistas Socráticas si te atascas. Al concluir, observa tus respuestas en el solucionario.

Área de Triángulo Isósceles con Pitágoras

En un triángulo isósceles con lados iguales de $10$ y base de $12$ , ¿cuál es el área?

Razón de Áreas Inscritas y Circunscritas

Un cuadrado está inscrito en un círculo mayor y circunscribe a un menor de área $4\pi$ . ¿Cuál es el área del círculo mayor?

Invarianza de Distancias Interiores en Triángulos Equiláteros

Considera un triángulo equilátero de lado $L$ . Para cualquier punto P interior, la suma de las distancias perpendiculares a los tres lados ( $d_1 + d_2 + d_3$ ) es constante e igual a:

Práctica · Viviani con números

Un punto dentro de un triángulo equilátero de lado 6 está a 1 de un lado y a 2 de otro. ¿A qué distancia está del tercer lado?

Práctica · La altura del equilátero

¿Cuánto mide la altura de un triángulo equilátero de lado 6?