Geometría Analítica y Trigonometría

Conquista las circunferencias, líneas rectas y el círculo unitario mediante modelado visual y deducción analítica.

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Módulo 3 · Trigonometría

La altura de una cabina en la rueda

En una rueda de Chicago, cada cabina sube y baja mientras la rueda gira con velocidad constante. Si se mide la altura de una cabina respecto al centro de la rueda, en una rueda de radio 1, esa altura es exactamente el seno del ángulo que lleva girado. El seno no es una tecla de la calculadora: es una altura en un círculo. Míralo girar.

Momento animado

Del círculo a la onda

El punto gira en la circunferencia de radio 1. Mira cómo su altura dibuja la onda del seno.

90°180°270°360°radio 1sin 0° = 0,00 · cos 0° = 1,00sin² + cos² = 1,00
0°
Etapas

Etapa 1 de 5 · 0°

Un punto en la circunferencia de radio 1. Su sombra sobre el eje x es el coseno del ángulo y su altura, el seno. En 0° está en (1, 0).

Fase 0 · Activación 3 min

Pre-entrenamiento

Activación cognitiva: esquemas mentales que necesitas tener listos.

Antes de abordar problemas avanzados de geometría y trigonometría, asegúrate de dominar estos 4 esquemas básicos. La fluidez en ellos reduce la carga mental durante la prueba.

Distancia y Pitágoras

Comprensión geométrica del Teorema de Pitágoras aplicado a dos puntos.

d=(x2−x1)2+(y2−y1)2d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}

Trinomio Cuadrado Perfecto

Habilidad algebraica para reconocer y factorizar cuadrados. Clave para circunferencias.

a2±2ab+b2=(a±b)2a^2 \pm 2ab + b^2 = (a \pm b)^2

El concepto de Pendiente

Entender la inclinación m como la razón de cambio vertical respecto a la horizontal.

m=ΔyΔxm = \frac{\Delta y}{\Delta x}

Círculo Unitario

Esquema mental que asocia el eje x con el coseno y el eje y con el seno.

x2+y2=1x^2 + y^2 = 1

Concepto Clave

"La fluidez en el álgebra básica y la geometría elemental libera 'RAM mental' para resolver problemas complejos."

Bloque 1 · Ecuación Canónica

La Circunferencia

Completación de cuadrados como herramienta de traslación.

La ecuación de una circunferencia se deriva directamente del Teorema de Pitágoras (fórmula de distancia). La Ecuación Canónica guarda el centro (h,k)(h, k) y el radio rr:

(x−h)2+(y−k)2=r2(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2

Para pasar de la Ecuación General a la Canónica, debes agrupar términos y completar cuadrados perfectos, manteniendo el equilibrio lógico sumando las mismas cantidades a ambos lados de la igualdad.

Laboratorio

Completador de cuadrados

Mueve DD, EE y FF y sigue cómo la ecuación general se vuelve canónica.

−12−8−44812−8−48r = 4C(−3; 4)

x2+y2+6x−8y+9=0x^2 + y^2 + 6x - 8y + 9 = 0

D = 6
E = −8
F = 9

Caso clásico de olimpiada: centro (−3; 4) y radio 4.

Centro

(−3; 4)

(−D2; −E2)\left(-\tfrac{D}{2};\, -\tfrac{E}{2}\right)

Radio

4

r2=16r^2 = 16

  1. 1. Agrupamos: (x2+6x)+(y2−8y)=−9(x^2 + 6x) + (y^2 - 8y) = -9
  2. 2. Sumamos (62)2=9\left(\tfrac{6}{2}\right)^2 = 9 y (−82)2=16\left(\tfrac{-8}{2}\right)^2 = 16 a los dos lados.
  3. 3. Canónica: (x+3)2+(y−4)2=16(x + 3)^2 + (y - 4)^2 = 16

Concepto Clave

"¡Cuidado con los signos! En la fórmula, el centro se resta. Si ves (y + 3)², el centro en Y está en -3."

Bloque 2 · Proyecciones

Pendientes y Rectas

Identificación geométrica de tendencias lineales.

En un plano cartesiano avanzado, la pendiente mm define cómo interactúan dos líneas rectas.

Rectas Paralelas (||)

Tienen exactamente la misma inclinación. Nunca se tocan.

m1=m2m_1 = m_2

Rectas Perpendiculares (⊥)

Se cortan a 90°. Sus pendientes son recíprocas y de signo contrario.

m1⋅m2=−1m_1 \cdot m_2 = -1

Concepto Clave

"Si te dan una recta y = (3/4)x, una recta perpendicular obligatoriamente tendrá pendiente m = -4/3."

Módulo 3 · Geometría

Identidades Trigonométricas

El poder multiplicador del círculo unitario.

En olimpiadas, las funciones trigonométricas no son solo triángulos; son coordenadas (x,y)(x, y) en el círculo de radio 1. Por lo tanto, dependen del cuadrante donde se encuentren.

Reglas del Círculo Unitario

1

Conexión geométrica fundamental

sin⁡(θ)=y  ;  cos⁡(θ)=x\sin(\theta) = y \; ; \; \cos(\theta) = x
2

Identidad del Cociente

tan⁡(θ)=sin⁡(θ)cos⁡(θ)=yx\tan(\theta) = \frac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)} = \frac{y}{x}
3

Identidad Pitagórica (Pitágoras en el círculo)

sin⁡2(θ)+cos⁡2(θ)=1\sin^2(\theta) + \cos^2(\theta) = 1

Laboratorio

Círculo unitario

Arrastra el punto por el círculo (o mueve el control) y mira cómo cambian el seno y el coseno según el cuadrante.

−1−111(0,71; 0,71)

Coseno (x)

0,71

Seno (y)

0,71

Tangente

1,00

45° = π4\frac{\pi}{4}

Cuadrante I: seno positivo, coseno positivo y tangente positiva.

Concepto Clave

"Antes de resolver una ecuación trigonométrica, analiza los signos esperados en el plano. Eso suele descartar varias opciones."

Banco de Problemas

Problemas de entrenamiento nivel olimpiada

Instrucciones: Aplica lo que viste en los laboratorios de completación de cuadrados y del círculo unitario. Piensa cada problema 2 o 3 minutos antes de mirar las pistas o la solución.

Problema 1★ Nivel Intermedio — Secciones Cónicas
La circunferencia x2+y2−4x+6y−3=0x^2 + y^2 - 4x + 6y - 3 = 0 tiene centro en:

Selecciona tu respuesta

Problema 2★ Nivel Intermedio — Geometría Analítica
El centro CC y el radio rr de la circunferencia (x+4)2+y2=49(x + 4)^2 + y^2 = 49 son:

Selecciona tu respuesta

Problema 3★ Nivel Avanzado — Geometría Plana
¿Cuál es el radio de la circunferencia que circunscribe a un cuadrado de lado 22?

Selecciona tu respuesta

Problema 4★ Nivel Avanzado — Trigonometría
Sea α\alpha un número positivo menor a π\pi tal que sin⁡(α)=cos⁡(α)\sin(\alpha) = \cos(\alpha), entonces el valor de α\alpha es:

Selecciona tu respuesta

Práctica · El círculo unitario
¿Cuánto vale sin⁡150∘\sin 150^\circ?
Práctica · sin² + cos² = 1
Si sin⁡θ=0,6\sin \theta = 0{,}6 y θ\theta está en el segundo cuadrante, ¿cuánto vale cos⁡θ\cos \theta?