Módulo 3: Geometría Analítica - Cónicas y Circunferencias

Módulo 3 · Geometría

¿Dónde está la antena?

En un mapa con cuadrícula, el borde de la zona que cubre una antena (un ejemplo) tiene la ecuación $x^2 + y^2 + 6x - 4y - 3 = 0$ . Así escrita no dice dónde está la antena ni hasta dónde llega. Escrita de otra forma, sí: completando cuadrados aparecen el centro y el radio.

Momento animado

Completar el cuadrado para ver el círculo

Primero la parte en x: x² + 6x. Mira qué le falta para ser un cuadrado.

Avancepartir 6x

Etapas

Etapa 1 de 5 · x² + 6x

La ecuación x² + y² + 6x − 4y − 3 = 0 esconde un círculo. Para verlo, se completa un cuadrado en x y otro en y. Primero x² + 6x: un cuadrado de lado x y un rectángulo de 6 por x.

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Problema 2.1: ¿Qué Cónica Ves?

Nivel Intermedio

Reconocimiento de Cónicas

¿Cuál de las siguientes describe mejor el gráfico de la ecuación

x^2 + y^2 = 36

Concepto Clave

"x² + y² = r² → Circunferencia. Con los coeficientes de x² e y² iguales es circunferencia; distintos pero del mismo signo, elipse; con signos contrarios, hipérbola."

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Problema 2.2: Centro por Cuadrado Completo

Nivel Olimpiada — Analítica

La circunferencia $x^2 + y^2 + 10x - 4y + 13 = 0$ tiene centro en:

Concepto Clave

"Atajo: para x²+y²+Dx+Ey+F=0, el centro es (-D/2, -E/2) y r² = (D/2)²+(E/2)²-F. Sin completar cuadrado."

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Problema 2.3: Lectura Directa de la Forma Canónica

Centro y Radio de la Circunferencia

Halla las coordenadas del centro $C$ y la longitud del radio $r$ de: $x^2 + (y+3)^2 = 9$

Concepto Clave

"(y+3)² = (y-(-3))², así que k = -3, no 3. El signo SIEMPRE cambia al pasar de la ecuación al centro."

Práctica · Centro y radio

¿Cuáles son el centro y el radio de la circunferencia

x^2 + y^2 + 6x - 4y - 3 = 0

Argumentación · ¿Siempre es un círculo?

¿Qué figura describe

x^2 + y^2 + 2x - 4y + 10 = 0

Práctica · Un círculo escondido

¿Cuál es el radio de la circunferencia

x^2 + y^2 = 2x