Ecuaciones Exponenciales, Logarítmicas y Funciones

Domina las propiedades de los logaritmos, ecuaciones con bases compuestas y la evaluación de funciones, claves en las olimpiadas de matemáticas.

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Módulo 2 · Exponenciales

¿Cuántas veces hay que duplicar?

Un video que cada día duplica sus vistas pasa de 1 a 2, 4, 8… ¿Cuántos días tarda en llegar a 1.024 vistas? Hay que contar cuántas veces se duplica: 210=1 0242^{10} = 1\,024, así que 10 días. Esa pregunta, «¿a qué exponente?», tiene nombre: logaritmo, log⁡21 024=10\log_2 1\,024 = 10. Las dos funciones son una el espejo de la otra.

Momento animado

El logaritmo en el espejo

Dibuja y = 2ˣ y refléjala en la recta y = x. Mira adónde va el punto (3, 8).

−2−222446688y = 2ˣ: 2³ = 8
y = 2ˣ
Etapas

Etapa 1 de 4 · y = 2ˣ

La curva y = 2ˣ crece cada vez más rápido: cada paso a la derecha duplica la altura. Pasa por (3, 8), porque 2³ = 8.

Fase 0 · Activación 5 min

Pre-entrenamiento

Activación cognitiva: esquemas mentales que necesitas tener listos antes de comenzar.

Para minimizar la carga cognitiva durante los problemas de olimpiada, asegúrate de tener estos esquemas automatizados en tu memoria.

Definición de Logaritmo

El dominio es la principal fuente de trampas en las olimpiadas.

log⁡b(x)=y  ⟺  by=x  (x,b>0,b≠1)\log_b(x) = y \iff b^y = x \; (x,b>0, b\neq 1)

Leyes de los Exponentes

Fluidez bidireccional es crítica, especialmente en potencias anidadas.

(am)n=am⋅n=(an)m(a^m)^n = a^{m \cdot n} = (a^n)^m

Sustitución Algebraica

Capacidad para reconocer estructuras polinómicas dentro de expresiones trascendentes.

4x+2x=(2x)2+2x=u2+u4^x + 2^x = (2^x)^2 + 2^x = u^2 + u

Evaluación Funcional

La evaluación requiere la sustitución rigurosa (usando paréntesis) del argumento.

f(c+1)=a(c+1)+bf(c+1) = a(c+1) + b

Concepto Clave

"Las herramientas básicas bien dominadas son el arma más poderosa en un examen."

Módulo 2 · Álgebra

Propiedades Operativas de los Logaritmos

Las ecuaciones logarítmicas en olimpiadas suelen requerir condensar múltiples términos.

Suma a Producto

log⁡b(x)+log⁡b(y)=log⁡b(x⋅y)\log_b(x) + \log_b(y) = \log_b(x \cdot y)

Resta a Cociente

log⁡b(x)−log⁡b(y)=log⁡b(xy)\log_b(x) - \log_b(y) = \log_b\left(\frac{x}{y}\right)

Inverso Multiplicativo

log⁡a(b)⋅log⁡b(a)=1\log_a(b) \cdot \log_b(a) = 1

Laboratorio

Explorador de dominios logarítmicos

La suma log⁡b(x)+log⁡b(x+k)\log_b(x) + \log_b(x+k) solo existe donde existen los dos logaritmos. Mueve la base y el desplazamiento.

−6−4−20246810−4−224y = 1x ≈ 1,00
  • y1=log⁡b(x)y_1 = \log_b(x)
  • y2=log⁡b(x+k)y_2 = \log_b(x+k)
  • y1+y2y_1 + y_2
  • La suma no existe

Dominio de la suma

x > 0

x>0 y x+k>0x > 0 \text{ y } x + k > 0

La suma vale 1 en

x ≈ 1,00

x(x+k)=3,00=bx(x+k) = 3{,}00 = b

b = 3,0
k = 2

Con k ≥ 0, si x > 0 también x + k > 0: la suma existe para x > 0. La otra raíz de x² + kx − b = 0, x ≈ −3,00, es negativa y queda por fuera: es espuria.

Concepto Clave

"Nunca resuelvas una ecuación logarítmica sin analizar el dominio primero: x > 0."

Módulo 2 · Álgebra

Exponenciales con Bases Compuestas

Cuando hay múltiples exponenciales, busca una base común.

Si una ecuación presenta sumas de términos exponenciales con distintas bases, no se pueden aplicar logaritmos directamente. La estrategia en olimpiadas es buscar una base común.

Técnica de reducción de base

1

Identificamos las bases (ej. 8 y 2).

8=238 = 2^3
2

Conmutamos los exponentes.

8x=(23)x=(2x)38^x = (2^3)^x = (2^x)^3
3

Realizamos cambio de variable.

u=2x  ⟹  u3u = 2^x \implies u^3

Concepto Clave

"Una ecuación trascendente compleja frecuentemente oculta una ecuación polinomial manejable tras una sustitución."

Módulo 2 · Álgebra

Evaluación de Funciones y Sistemas

Un error frecuente es olvidar la propiedad distributiva.

En problemas de evaluación como f(c+1)=g(2c)f(c+1) = g(2c), la clave está en el uso de paréntesis al sustituir rigurosamente.

Forma Incorrecta

f(x)=ax+b  ⟹  f(c+1)=ac+1+b\begin{gathered} f(x) = ax + b \\ \implies f(c+1) = ac + 1 + b \end{gathered}

Forma Correcta

f(x)=ax+b  ⟹  f(c+1)=a(c+1)+b\begin{gathered} f(x) = ax + b \\ \implies f(c+1) = a(c+1) + b \end{gathered}

Concepto Clave

"f(Expresión) siempre significa sustituir rigurosamente la Expresión usando paréntesis."

Banco de Problemas

Problemas de entrenamiento nivel olimpiada

Instrucciones: Intenta responder cada problema antes de ver la solución. Usa las Pistas Socráticas si te atascas. Al concluir, observa tus respuestas en el solucionario.

Problema 1★ Nivel Intermedio — Logaritmos
El conjunto solución SS de la siguiente ecuación: log⁡2(x)+log⁡2(x+6)=4\log_2(x) + \log_2(x+6) = 4, es:

Selecciona tu respuesta

Problema 2★ Nivel Avanzado — Ecuaciones Exponenciales
Si xx es un número real tal que 27x+3x=3027^x + 3^x = 30, entonces el valor de xx, es:

Selecciona tu respuesta

Problema 3★ Nivel Intermedio — Funciones Lineales
Si f(x)=4x+5f(x) = 4x + 5, g(x)=−2x+3g(x) = -2x + 3 y f(c+2)=g(3c)f(c+2) = g(3c) entonces cc es igual a:

Selecciona tu respuesta

Problema 4★ Nivel Avanzado — Logaritmos
Suponga que tenemos dos números reales positivos diferentes de 1 tales que 3alog⁡a(b)=12=4blog⁡b(a)3a \log_a(b) = 12 = 4b \log_b(a), entonces el valor de abab es:

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Práctica · ¿Cuántas veces se duplica?
Un video duplica sus vistas cada día: 1, 2, 4, 8… ¿En qué día llega a 1.024 vistas, si el día 0 tenía 1?
Práctica · Propiedades del logaritmo
¿Cuánto vale log⁡28+log⁡24\log_2 8 + \log_2 4?