Principio de Dirichlet (Palomar)

Módulo 7 · Lógica

En tu curso, ¿dos cumplen años en el mismo mes?

Si en tu curso hay 13 estudiantes o más, la respuesta es sí, y no hace falta preguntarle a nadie su fecha. No es probabilidad ni suerte: es seguro. La razón cabe en una frase: si hay más palomas que nidos, algún nido tiene al menos dos palomas. Es el principio del palomar, o de Dirichlet.

Momento animado

Trece estudiantes, doce meses

Reparte los cumpleaños tratando de que nadie coincida. Mira qué pasa con el estudiante 13.

Estudiantes0 de 13

Etapas

Etapa 1 de 4 · El peor caso

Queremos evitar a toda costa que dos cumplan en el mismo mes. Lo mejor que se puede hacer es poner a cada estudiante en un mes distinto.

Misión: 5 Puntos Inevitables

Enunciado del Problema

Se colocan 5 puntos arbitrariamente dentro de un triángulo equilátero de lado 2. Demuestra que siempre habrá al menos dos puntos cuya distancia sea menor o igual a 1.

"Espera... no sé dónde están los puntos, pueden estar en cualquier lugar. ¿Cómo puedo medir la distancia de puntos que no conozco?"

Pista del Tutor

"La combinatoria olímpica no calcula, garantiza. No intentes medir, intenta agrupar. ¿Puedes dividir este triángulo grande en partes más pequeñas de lado 1?"

Módulo 7 · Lógica

Fase 1: Laboratorio Interactivo

Haz el experimento tú mismo. Juega con el generador lanzando puntos al azar y observa qué sucede siempre en el último punto.

5 Puntos en 4 Triángulos

Imagina que el triángulo grande tiene lado 2. Lo hemos dividido en 4 triángulos pequeños de lado 1.

Trata de colocar 5 puntos sin que caigan 2 en el mismo triángulo pequeño. ¿Es posible?

Resolución Paso a Paso

Fase 2: Formalización Matemática

Principio Clave: Dirichlet (Palomar)

Si tienes $n$ cajas (nidos) y $n+1$ objetos (palomas), no importa cómo los distribuyas, al menos una caja tendrá 2 o más objetos. Es una idea innegable, pura lógica.

Paso 1Modelar las Cajas

Crear los Nidos (Cajas)

El problema nos da un triángulo equilátero enorme de lado 2. Queremos demostrar que 2 puntos están a una distancia $\le 1$ . Así que necesitamos agrupar los puntos en regiones pequeñas donde la distancia siempre sea $\le 1$ .

Uniendo los puntos medios de los lados del triángulo original, formamos exactamente 4 triángulos equiláteros más pequeños de lado 1. Estos serán nuestros 4 nidos.

Paso 2

Asignar las Palomas

Tenemos 5 puntos seleccionados al azar. Estas son nuestras 5 palomas. Si asignamos cada punto al triángulo pequeño en el que cae...

4Nidos

5Palomas

Conclusión Final

Por el Principio de Dirichlet, como 5 > 4, al menos un triángulo de lado 1 debe contener 2 o más puntos.

¿Cuál es la máxima distancia entre dos puntos dentro de un triángulo equilátero de lado 1? Su respuesta es la longitud del lado: exactamente 1.

Por lo tantoLa distancia entre esos dos puntos es

d \le 1

.
Q.E.D. ∎

Módulo 7 · 3 Problemas

Fase 3: Banco de Problemas Clásicos

El principio del palomar aparece disfrazado en muchos problemas. La clave no es memorizar — es aprender a identificar los nidos y las palomas en cualquier contexto.

Cumpleaños en el Mismo Mes

En cualquier grupo de 13 personas, ¿hay siempre al menos dos que cumplen años en el mismo mes?

Residuos Módulo 9

Se eligen 10 enteros. Demuestra que al menos dos de ellos dejan el mismo residuo al dividir por 9:

Construcción Creativa de Nidos

Se eligen 6 números del conjunto $\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$ . Demuestra que siempre habrá dos de ellos cuya suma es 11:

Práctica · Medias a oscuras

En un cajón hay 10 medias negras y 10 blancas, revueltas. Sin mirar, ¿cuántas medias hay que sacar, como mínimo, para estar seguro de tener dos del mismo color?

Argumentación · El mismo día

¿Cuántas personas hacen falta, como mínimo, para estar seguros de que dos cumplen años el mismo día del año (contando el 29 de febrero)?

Concepto Clave

"El arte del Palomar está en DISEÑAR los nidos. No existen por sí solos — debes construirlos estratégicamente para que cada nido garantice la propiedad que quieres demostrar."