Protocolo Omega: El Arte de Contar

Módulo 6 · Combinatoria

¿De cuántas formas llegas?

En muchas ciudades de Colombia las calles y las carreras forman una cuadrícula. Si tu casa está 4 cuadras al oriente y 4 al sur del colegio, y siempre caminas acercándote, ¿de cuántas formas distintas puedes llegar? Dibujarlas una por una es un enredo. Contar bien es más rápido: cada esquina se cuenta con las que tiene antes.

Momento animado

Los caminos se suman

Cuadrícula de 4 por 4 cuadras, solo a la derecha o hacia abajo. Mira cómo se cuenta cada esquina con las anteriores.

Diagonaldiagonal 0 de 8

Etapas

Etapa 1 de 5 · La salida

Desde la esquina de salida solo se camina hacia la derecha o hacia abajo. A la salida se llega de una sola forma: quedándose.

Misión 1: La Explosión Combinatoria

Te damos la bienvenida, agente. Tu primera lección no es sobre sumar, sino sobre multiplicar opciones. Cuando tomas decisiones secuenciales (una cosa Y luego otra), el universo de posibilidades se expande explosivamente.

Principio multiplicativo (Y)

Si el evento A tiene

n

opciones y el evento B tiene

m

opciones, y ocurren uno tras otro, el total es

n \times m

Laboratorio

El rompe-códigos

Cambia cuántas opciones tiene cada ranura del candado, o agrega una ranura, y mira cómo crece el total.

Ranura 1

100–9

Ranura 2

100–9

Ranura 3

5A–E

10 × 10 × 5 = 500

claves posibles (principio multiplicativo)

Probadas: 0 de 500

Si cada intento tomara 1 segundo, probarlas todas tardaría 500 segundos (≈ 8,3 minutos).

Nota cómo agregar una sola ranura multiplica el total, no lo suma.

Misión 2: Rutas Alternativas

A veces no encadenas decisiones, sino que eliges entre caminos excluyentes (una cosa O la otra). Aquí es donde entra el Principio Aditivo.

Principio aditivo (O)

Si tienes

n

formas de hacer A y

m

formas de hacer B, y NO puedes hacer ambas a la vez, el total es

n + m

Laboratorio

Rutas en una cuadrícula

Solo se avanza a la derecha o hacia abajo. Toca una casilla para ver de dónde salen sus caminos.

10 = 4 + 6 (de arriba + de la izquierda)

5 pasos, 2 hacia abajo: $\binom{5}{2} = 10$

A cada casilla se llega desde la de arriba o desde la de la izquierda, nunca desde las dos a la vez: por eso se suman. Es la misma regla del triángulo de Pascal.

Estrategia de «divide y vencerás»

En problemas difíciles de olimpiada, a menudo dividimos el problema en «casos». Calculas cada caso por separado (multiplicativo) y al final sumas los resultados (aditivo).

Módulo 6 · Combinatoria

Entrenamiento de Intuición

Un error frecuente en competencias es confundir cuándo sumar y cuándo multiplicar. Usa este simulador para calibrar tu intuición lógica.

Laboratorio

¿Sumar o multiplicar?

Lee la situación y decide. «Y» suele pedir multiplicar; «O», sumar.

Aciertos: 0 de 0

«Elegir una camisa Y un pantalón para salir»

Visualización de ramas

Si tienes dudas, dibuja el árbol. El número de ramas finales es tu respuesta.

Laboratorio

Árbol de decisiones

Cada etapa abre el mismo número de ramas. El total de caminos son las hojas de abajo.

Hojas (caminos)

$2^{2} = 4$

Cuenta

2 × 2

2 etapas de 2

Etapas (profundidad)2

Opciones por etapa2

Cada etapa multiplica las ramas por 2: 2 × 2 = 4 caminos.

Práctica · Caminos en la cuadrícula

Tu casa está 4 cuadras al oriente y 4 al sur del colegio, y siempre caminas acercándote. ¿De cuántas formas distintas puedes llegar?

Práctica · Una cuadrícula más pequeña

¿Cuántos caminos hay de una esquina a la opuesta en una cuadrícula de 2 cuadras por 3, avanzando siempre hacia la llegada?

Práctica · Principio multiplicativo

¿Cuántas claves de 4 dígitos (del 0 al 9) hay, si los dígitos se pueden repetir?

Práctica · ¿Sumar o multiplicar?

En el almuerzo del colegio se escoge una sopa (de 3), un seco (de 4) y un jugo (de 2). ¿Cuántos almuerzos distintos hay?

Práctica · Principio aditivo

Del colegio a la casa puedes ir en una de 3 rutas de bus o en una de 2 rutas de metro, sin combinarlas. ¿Cuántas formas hay?