1.12 Demostración del Teorema del Coseno

El planteamiento inicial

Para demostrar el Teorema del Coseno, no basta con memorizar la fórmula. Debemos entender que este teorema es, en esencia, una generalización del Teorema de Pitágoras para cualquier tipo de triángulo.

Consideremos un triángulo oblicuángulo con vértices $A, B, C$ y lados opuestos $a, b, c$ . Para analizarlo con herramientas que ya conocemos (triángulos rectángulos), trazamos una altura $h$ desde el vértice $C$ hasta la base $c$ .

Paso a Paso de la Derivación

1. Segmentación del Triángulo

La altura $h$ divide la base $c$ en dos partes. Definimos $x$ como la distancia desde $A$ hasta el pie de la altura. El segmento restante es necesariamente $c - x$ .

Triángulo 1 (Izquierdo)

Catetos: $x, h$ | Hipotenusa: $b$

Triángulo 2 (Derecho)

Catetos: $(c-x), h$ | Hipotenusa: $a$

2. Aplicación del Teorema de Pitágoras

Aplicamos Pitágoras en el Triángulo 2 para relacionar el lado $a$ :

a^2 = h^2 + (c - x)^2

Desarrollamos el binomio al cuadrado:

a^2 = h^2 + c^2 - 2cx + x^2

3. Sustitución de Identidades

Del Triángulo 1, sabemos que $h^2 + x^2 = b^2$ . Sustituimos esto en la ecuación anterior para eliminar $h$ :

a^2 = (h^2 + x^2) + c^2 - 2cx \implies a^2 = b^2 + c^2 - 2cx

¿Cómo nos deshacemos de la variable auxiliar x?

En el Triángulo 1, la función coseno define: $\cos A = \frac{x}{b}$ . Por lo tanto, despejamos: $x = b \cos A$ .

¡Q.E.D. (Quod Erat Demonstrandum)!

Sustituyendo el valor de $x$ en nuestra ecuación final, llegamos a la expresión universal del Teorema del Coseno:

a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A

Práctica de Demostración

1. Ajuste por Ángulo

Realiza la misma demostración pero trazando la altura desde el vértice $A$ hacia el lado $a$ . Demuestra que: $b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos B$ .

2. El Límite Rectángulo

Si $A = 90^\circ$ , ¿qué ocurre con el término $-2bc \cos A$ ? Explica matemáticamente cómo el Teorema del Coseno se colapsa en el Teorema de Pitágoras.

Problema Contextualizado (Tipo PISA)

Situación: Topografía de Montaña

Un equipo de ingenieros debe medir la distancia entre dos picos de montaña, $P_1$ y $P_2$ . Desde un punto de observación $O$ en el valle, la distancia a $P_1$ es de $3 \, \text{km}$ y a $P_2$ es de $5 \, \text{km}$ . El ángulo formado entre las dos visuales es de $60^\circ$ .

Pregunta: Utilizando la estructura de la demostración vista, calcula la distancia exacta entre los picos. ¿Por qué es necesario usar el Coseno y no simplemente Pitágoras?

Análisis del Experto

A)El signo del Coseno: En ángulos obtusos ( $A > 90^\circ$ ), el $\cos A$ es negativo. El término $-2bc \cos A$ se vuelve positivo, lo cual tiene sentido geométrico: el lado opuesto a un ángulo obtuso debe ser más largo que en un triángulo rectángulo.
B)Uso Ineficiente: No es recomendable usar el Teorema del Coseno si tienes un par ángulo-lado opuesto conocido y otro ángulo (en ese caso, el Teorema del Seno es mucho más eficiente). El Coseno brilla en casos LAL (Lado-Ángulo-Lado) o LLL (Lado-Lado-Lado).