1.12 Demostración y Aplicación del Teorema del Coseno

El largo de un humedal que no se puede caminar

El teorema del coseno es la generalización del teorema de Pitágoras a triángulos sin ángulo recto. Antes de la fórmula, mira qué le pasa al lado opuesto cuando el ángulo se abre y se cierra.

1. Un compás que se abre

Momento animado

Un compás que se abre

Compara las dos barras: a² y b² + c². Solo son iguales en un ángulo.

Ángulo A

60°

−48 · cos A

−24,00

a²

28,00

a ≈ 5,29

1. El compás. Dos lados fijos, b = 6 y c = 4, como las patas de un compás. El lado a cierra el triángulo y depende del ángulo A.

Ley del coseno

a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A

Lo mismo con los otros lados: $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C$ . Si el ángulo mide 90°, $\cos 90^\circ = 0$ y queda Pitágoras. Si es agudo, el lado opuesto queda más corto; si es obtuso, más largo.

Ejemplo resuelto

¿Cuánto mide el humedal?

Desde C, Dayana mide 650 m hasta A, 820 m hasta B y 72° entre las dos visuales. ¿Cuánto mide el humedal de A a B?

1
El lado buscado está enfrente del ángulo conocido
AB está enfrente del ángulo de 72° en C, entre los lados de 650 m y 820 m.
$\begin{aligned} AB^2 &= 650^2 + 820^2 \\ &\quad - 2 \cdot 650 \cdot 820 \cos 72^\circ \end{aligned}$
2
Calcula
$\begin{aligned} AB^2 &\approx 422\,500 + 672\,400 \\ &\quad - 329\,412 \\ &\approx 765\,488 \end{aligned}$
3
Saca la raíz
$AB \approx \sqrt{765\,488} \approx 874{,}92 \text{ m}$
4
Revisa si tiene sentido
Es más que cada uno de los otros lados, porque está enfrente del ángulo más grande, y menos que su suma (1.470 m).

El humedal mide unos 875 m de un extremo al otro, y nadie tuvo que cruzarlo.

Laboratorio

El Teorema del Coseno: Pitágoras Generalizado

¡Pitágoras exacto (cos 90° = 0)!

1. Base de Pitágoras (a² + b²):6² + 8² = 100

2. Término Corrector (−2ab · cos C):−2(6)(8) · cos(90°) = 0,00

3. Lado Opuesto Resultante:c = √(100 + (0,00)) = 10,00

El Veredicto Geométrico: Cuando $C = 90^\circ$ , el término corrector es exactamente 0 y recuperamos el Teorema de Pitágoras $c = \sqrt{6^2 + 8^2} = 10$ . Cuando el ángulo es obtuso ( $> 90^\circ$ ), el coseno es negativo y menos por menos da MÁS, expandiendo el lado $c$ a una longitud mayor que la hipotenusa pitagórica.

Lado a:6

Lado b:8

Ángulo C:90°

La demostración, paso a paso

1. La altura h parte el triángulo

Trazamos la altura $h$ desde $C$ , perpendicular a la base $c$ . La base queda en dos pedazos: $x = b \cos A$ y $c - x$ . La altura mide $h = b \sin A$ .

2. Pitágoras en el triángulo de la derecha

En el triángulo rectángulo de la derecha, la hipotenusa es $a$ :

a^2 = h^2 + (c - x)^2 = (b \sin A)^2 + (c - b \cos A)^2

3. Desarrollar y usar la identidad fundamental

$a^2 = b^2 \sin^2 A + c^2 - 2bc \cos A + b^2 \cos^2 A$

$a^2 = b^2(\sin^2 A + \cos^2 A) + c^2 - 2bc \cos A$

$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A$

La identidad $\sin^2 A + \cos^2 A = 1$ junta los términos. Si $A$ es obtuso, la altura cae por fuera y $b \cos A$ es negativo, pero las cuentas son las mismas.

Para practicar

Ejercicio 1: dos lados y el ángulo entre ellos

En un triángulo, b = 8, c = 11 y A = 47°. ¿Cuánto mide el lado a?

Ejercicio 2: un ángulo obtuso

En un triángulo, a = 3, b = 5 y el ángulo entre ellos es C = 120°. ¿Cuánto mide c?

Ejercicio 3: ¿agudo, recto u obtuso?

Sin calcular ángulos: un triángulo tiene lados de 5, 9 y 12. ¿Qué tipo de triángulo es?

Ejercicio 4: el ángulo a partir de los lados

Un triángulo tiene lados de 5, 7 y 10. ¿Cuánto mide su ángulo mayor?

Ejercicio 5 (tipo Saber 11): el regreso del dron

Un dron sale de una torre, vuela 5 km con rumbo 30° y después 3 km con rumbo 150°. ¿A qué distancia de la torre quedó?

En un triángulo, dos lados miden $a = 5$ y $b = 7$ , y el ángulo entre ellos es $C = 60^\circ$ . Recuerda que $\cos 60^\circ = 0{,}5$ . ¿Cuánto mide el lado opuesto $c$ ?

Ver la explicación completa

1. $a^2 + b^2 = 25 + 49 = 74$

2. $2ab \cos 60^\circ = 2(5)(7)(0{,}5) = 35$

3. $c^2 = 74 - 35 = 39 \implies c = \sqrt{39}$ (unos 6,24).

Navegación

Dos barcos salen del mismo puerto al mismo tiempo, los dos a 10 nudos (10 millas náuticas por hora), con 120° entre sus rumbos. Si $\cos 120^\circ = -0{,}5$ , ¿qué distancia los separa después de 1 hora?

Ver la explicación completa

1. Como el ángulo es obtuso (120°), $\cos 120^\circ = -0{,}5$ .

2. Menos por menos da más: $d^2 = 100 + 100 - 200(-0{,}5) = 200 + 100 = 300$ .

3. $d = \sqrt{300} = 10\sqrt{3} \approx 17{,}32$ millas náuticas.