1.9 La Identidad Fundamental | Geometría y Trigonometría

¿Puede ser 0,8 y 0,8?

Si elevas al cuadrado el seno de cualquier ángulo y le sumas el cuadrado del coseno de ese mismo ángulo, el resultado es siempre 1. Con 0,8 y 0,8 daría 0,64 + 0,64 = 1,28: imposible.

Concepto Clave

"La identidad fundamental es el teorema de Pitágoras en la circunferencia de radio 1."

1. Pitágoras en la circunferencia

P está en la circunferencia de radio 1: su triángulo tiene catetos $\cos \theta$ y $\sin \theta$ , e hipotenusa 1. Mira los cuadrados de los lados mientras P gira.

Momento animado

Dos cuadrados que siempre suman 1

Verde: el cuadrado del seno. Azul: el del coseno. Mira la barra de la derecha.

Ángulo θ

35,0°

sin² θ

0,329

cos² θ

0,671

suma 1,000

1. El triángulo. P está en la circunferencia de radio 1. Su triángulo tiene catetos cos θ y sin θ, e hipotenusa 1.

Teorema de Pitágoras

(\text{cateto})^2 + (\text{cateto})^2 = (\text{hipotenusa})^2

Con los catetos de P

\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1

Notación: $\sin^2 \theta$ quiere decir $(\sin \theta)^2$ : primero el seno, después el cuadrado.

Concepto Clave

"La identidad vale para cualquier ángulo (positivo, negativo o de más de una vuelta): el radio siempre mide 1 y los cuadrados no tienen signo."

Ahora tú: mueve el ángulo y comprueba la suma.

Escáner Pitagórico

Observa cómo cambian los catetos, pero la hipotenusa (1) se mantiene.

Ángulo: 60°

sin² 60°0,866² = 0,750

cos² 60°0,500² = 0,250

SUMA1,000

2. ¿Para qué sirve?

Si conoces una razón, puedes hallar la otra, salvo el signo.

El seno, desde el coseno

\sin \theta = \pm\sqrt{1 - \cos^2 \theta}

El coseno, desde el seno

\cos \theta = \pm\sqrt{1 - \sin^2 \theta}

Ejemplo resuelto

Un ángulo del cuadrante III

Si sin θ = −0,28 y θ está en el cuadrante III, ¿cuánto vale cos θ?

1
Lo que falta para 1
$\begin{aligned} \cos^2 \theta &= 1 - (-0{,}28)^2 \\ &= 1 - 0{,}0784 \\ &= 0{,}9216 \end{aligned}$
2
La raíz da el tamaño
$|\cos \theta| = \sqrt{0{,}9216} = 0{,}96$
3
El cuadrante da el signo
En el cuadrante III la x es negativa: el coseno es negativo.
$\cos \theta = -0{,}96$

cos θ = −0,96. Comprobación: 0,0784 + 0,9216 = 1.

Para practicar

Ejercicio 1: del seno al coseno

Si $\sin \alpha = 0{,}6$ y $\alpha$ es agudo, ¿cuánto vale $\cos \alpha$ ?

Ejercicio 2 (tipo PISA): los sensores del brazo

Un brazo robótico de $1\text{ m}$ gira alrededor del origen. Dos sensores dicen dónde está la punta:

Sensor horizontal: $x = 0{,}8\text{ m}$
Sensor vertical: $y = 0{,}5\text{ m}$

El computador avisa que los sensores fallan. ¿Por qué?

Ejercicio 3: el ángulo imposible

¿Existe un ángulo θ con sin θ = 0,8 y cos θ = 0,8?

Ejercicio 4 (tipo Saber 11): ¿es una identidad?

Sharon comprobó con la calculadora que cos θ = √(1 − sin² θ) con 20°, 45° y 70°, y concluyó que es una identidad. ¿Tiene razón?

Ejercicio 5: simplificar

¿A qué es igual (1 − cos θ)(1 + cos θ)?

Ejercicio 6: el signo correcto

Si cos θ = −0,6 y θ está en el cuadrante III, ¿cuánto vale sin θ?