1.2 El Triángulo: Ladrillo del Universo

¿Por qué hay triángulos en todas partes?

Concepto Clave

"Con tres lados fijos solo existe un triángulo posible (criterio LLL). Por eso un triángulo no se deforma."

1. Cómo se clasifican

Un triángulo se clasifica de dos maneras: por sus lados (cuánto miden) o por sus ángulos (cuánto se abren).

Por sus lados

Equilátero: 3 lados iguales. Sus ángulos miden $60^\circ$ cada uno.
Isósceles: 2 lados iguales, y los dos ángulos de la base también.
Escaleno: los 3 lados distintos, y los 3 ángulos también.

Por sus ángulos

Rectángulo: tiene un ángulo de $90^\circ$ . Es el protagonista de la trigonometría.
Obtusángulo: tiene un ángulo mayor que $90^\circ$ .
Acutángulo: sus 3 ángulos miden menos de $90^\circ$ .

Mueve los deslizadores para cambiar el vértice C. La base AB mide siempre 100.

Clasificador Dinámico

EquiláteroAcutángulo

Posición Horizontal (C.x)

Altura (C.y)

Ladosa = 100,0 · b = 100,0 · c = 100

60,0° + 60,0° + 60,0°= 180°

Los ángulos se muestran con una cifra decimal; la suma exacta es siempre 180°.

Concepto Clave

"Las dos clasificaciones se combinan: una escuadra es un triángulo rectángulo e isósceles."

Ejercicio 1: clasificar un triángulo

Un triángulo tiene lados $a = 5$ , $b = 5$ y $c = 8$ , y uno de sus ángulos mide $106^\circ$ . ¿Cómo se clasifica por sus lados y por sus ángulos?

Ejercicio 2 (tipo PISA): el techo a dos aguas

Un techo a dos aguas tiene vigas de $6\text{ m}$ a cada lado. Para que el agua de la lluvia escurra rápido, el ángulo de arriba debe ser agudo ( $< 90^\circ$ ). ¿Qué condición debe cumplir el ancho $b$ de la base?

2. Las dos reglas de todo triángulo

¿Por qué los ángulos de un triángulo suman 180°, sea como sea el triángulo? Mira la demostración moviéndose.

Momento animado

Los tres ángulos en una recta

Sigue las cuñas de colores: α y β viajan hasta C.

α + β + γ = 59,0° + 41,2° + 79,8° = 180°

1. El triángulo. Un triángulo cualquiera, con sus ángulos α (en A), β (en B) y γ (en C).

A. La suma de los ángulos

\alpha + \beta + \gamma = 180^{\circ}

En cualquier triángulo del plano.

Por eso un triángulo no puede tener dos ángulos rectos: sumarían 180° y no quedaría nada para el tercero.

B. La desigualdad triangular

El camino más corto entre dos puntos es la línea recta.

a + b > c

La suma de dos lados cualesquiera siempre es mayor que el tercero. Si fuera igual, el triángulo se aplanaría en una línea; si fuera menor, los lados no alcanzarían a tocarse.

Ejercicio 3: álgebra con la suma de los ángulos

En un triángulo, el segundo ángulo es el doble del primero ( $2x$ ) y el tercero mide $30^\circ$ . ¿Cuánto miden los tres ángulos?

Ejercicio 4 (tipo PISA): ¿existe esa ruta?

Tres bodegas A, B y C están en una región plana. En línea recta, de A a B hay $50\text{ km}$ y de B a C, $30\text{ km}$ . Un conductor dice que de A a C, en línea recta, hay $90\text{ km}$ . ¿Es posible?

3. El triángulo rectángulo y Pitágoras

En un triángulo rectángulo, el lado opuesto al ángulo recto es la hipotenusa, el más largo. Los otros dos son los catetos. Sus medidas están amarradas:

a^2 + b^2 = c^2

Y al revés: si los lados de un triángulo cumplen $a^2 + b^2 = c^2$ , el ángulo opuesto a $c$ es recto. Por eso una cuerda con nudos en 3, 4 y 5 unidades arma una esquina recta: $3^2 + 4^2 = 25 = 5^2$ .

Ejemplo resuelto

El cable de la antena

Una vereda va a tener internet con una antena de 18 m de alto. Para que el viento no la tumbe, se sostiene con cables que van de la punta a unos anclajes en el suelo, a 7,5 m del pie de la antena (datos hipotéticos). ¿Cuánto mide cada cable?

1
Encuentra el triángulo rectángulo
La antena (18 m) y el suelo (7,5 m) son los catetos; el ángulo recto está en el pie de la antena. El cable es la hipotenusa.
2
Aplica Pitágoras
$\begin{aligned} c^2 &= 18^2 + 7{,}5^2 \\ &= 324 + 56{,}25 \\ &= 380{,}25 \end{aligned}$
3
Saca la raíz
$c = \sqrt{380{,}25} = 19{,}5 \text{ m}$

Cada cable mide 19,5 m. Tiene sentido: más que la antena, porque es la hipotenusa, y menos que 18 + 7,5. En la práctica se compra un poco más, para los amarres.

Concepto Clave

"Pitágoras solo vale en triángulos rectángulos, y también sirve para saber si un triángulo lo es."

Ejercicio 5: la escalera contra la pared

Una escalera de 5 m está apoyada en una pared, con el pie a 1,4 m de la pared. ¿A qué altura llega?

Ejercicio 6 (tipo Saber 11): ¿cuál es rectángulo?

¿Cuál de estos triángulos es rectángulo?