1.11 Teorema de los Senos | Geometría y Trigonometría

¿Dónde está el fuego?

Para empezar

Dos torres y una columna de humo

En 2024 los incendios forestales fueron la emergencia más frecuente en Colombia: la UNGRD registró 6.293, que afectaron más de 216.000 hectáreas. Para apagar un incendio, lo primero es saber dónde está.

Desde una torre de vigilancia se sabe hacia dónde está el humo, pero no a qué distancia. Si una segunda torre también lo ve, las dos visuales se cruzan en el fuego. El triángulo que forman no es rectángulo: el seno, el coseno y la tangente de siempre no alcanzan. Hace falta la ley del seno.

Fuente: UNGRD, «Incendios forestales, inundaciones y movimientos en masa, las emergencias más frecuentes en Colombia durante 2024» (26 de diciembre de 2024); Alberta Wildfire, sobre cómo un vigía da el rumbo del humo y dos rumbos cruzados ubican el incendio.

Pitágoras y las razones de la lección 1.4 solo sirven en triángulos rectángulos. La ley del seno sirve en cualquier triángulo, y dice algo que se ve a simple vista: cuanto más abierto es un ángulo, más largo es el lado que tiene enfrente.

Concepto Clave

"En todo triángulo, cada lado dividido entre el seno de su ángulo opuesto da el mismo número: el diámetro de la circunferencia que pasa por los tres vértices."

1. Dos torres y un incendio

Mira cómo dos ángulos y una distancia ubican el fuego, y cómo de ahí sale la ley. Las torres y los ángulos son hipotéticos; la figura está a escala.

Momento animado

Dos torres y un incendio

Dos ángulos y la distancia entre las torres bastan para ubicar el fuego.

AB = 12 km. Los ángulos se miden en cada torre.

1. Las torres. Dos torres de vigilancia, A y B, a 12 km. Desde las dos se ve el humo. ¿Dónde está el fuego?

La ley del seno

\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}

$a$ es el lado opuesto al ángulo $A$ , y así con los demás. También vale al revés: $\frac{\sin A}{a} = \frac{\sin B}{b}$ .

¿Cuándo usarla?

Dos ángulos y un lado (AAL): el tercer ángulo sale de la suma, que es 180°, y cada lado de una proporción. Es el caso de las torres.
Dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos (LLA): puede haber dos triángulos, uno o ninguno (el caso ambiguo).

Busca la pareja completa

La ley arranca cuando tienes un ángulo y su lado opuesto (por ejemplo, $A$ y $a$ ). Con esa pareja, cualquier otro lado o ángulo sale de una proporción.

Ejemplo resuelto

¿A qué distancia está el fuego?

Las torres A y B están a 12 km. Desde A el humo se ve a 52° de la línea de las torres, y desde B a 71°. ¿A qué distancia está el fuego F de cada torre, y de la línea que las une?

1
El tercer ángulo
$F = 180^\circ - 52^\circ - 71^\circ = 57^\circ$
2
La pareja completa
El lado de 12 km (AB) está enfrente del ángulo F = 57°.
$\frac{12}{\sin 57^\circ} \approx 14{,}31$
3
Cada distancia, con el seno del ángulo opuesto
AF está enfrente del ángulo en B (71°) y BF, enfrente del ángulo en A (52°). Las distancias quedan en km.
$\begin{aligned} AF &= \frac{12 \sin 71^\circ}{\sin 57^\circ} \approx 13{,}53 \\ BF &= \frac{12 \sin 52^\circ}{\sin 57^\circ} \approx 11{,}28 \end{aligned}$
4
La distancia a la línea de las torres
Es la altura del triángulo, en el rectángulo que forma con A.
$h = AF \cdot \sin 52^\circ \approx 10{,}66 \text{ km}$

El fuego está a unos 13,53 km de A, a 11,28 km de B y a 10,66 km de la línea de las torres. Tiene sentido: el lado más largo, AF, está enfrente del ángulo más grande, 71°.

Ahora tú: mueve los ángulos de la base y mira cómo los tres cocientes siguen iguales.

Laboratorio de proporciones

Ajusta los ángulos de la base. Observa cómo los lados opuestos crecen o se encogen para mantener la igualdad del teorema.

C = 180° − 45° − 60° = 75°

La base c mide siempre 10; el dibujo se acerca o se aleja para que el triángulo quepa entero.

Ángulo A (izq)45°

Ángulo B (der)60°

Comprobación de la ley

a / sin A

10,35

b / sin B

10,35

c / sin C

10,35

Este valor constante es el diámetro del círculo circunscrito (2R).

Para practicar

Ejercicio 1: la ley del seno, directa

En un triángulo $ABC$ se conocen $A = 30^\circ$ , $B = 45^\circ$ y el lado $a = 10\text{ m}$ . ¿Cuánto mide el lado $b$ ?

Ejercicio 2 (tipo PISA): el rescate de los guardacostas

Dos estaciones en una costa recta, Alfa y Bravo, están a $12\text{ km}$ . Las dos ven un barco en apuros:

Desde Alfa, el barco se ve a $40^\circ$ de la costa.
Desde Bravo, a $60^\circ$ de la costa.

¿A qué distancia está el barco de la estación Bravo?

Ejercicio 3: dos ángulos y el lado de en medio

En un triángulo, A = 50°, B = 60° y c = 20. ¿Cuánto mide el lado a?

Ejercicio 4 (tipo Saber 11): el humo y la carretera

Dos torres de vigilancia están a 9 km una de otra, unidas por una carretera recta. Un humo se ve desde la primera torre a 63° de la carretera, y desde la segunda, a 48°. ¿A qué distancia está el humo de la carretera?

Ejercicio 5: el caso ambiguo

Se conocen A = 30°, a = 5 y b = 8. ¿Cuántos triángulos cumplen esos datos?

Ejercicio 6: la ley del seno en un triángulo rectángulo

Si el ángulo C mide 90°, la ley del seno dice a / sin A = c / sin 90°. ¿Qué relación conocida se obtiene?