1.10 Identidades Auxiliares | Geometría y Trigonometría

De la pendiente a la distancia

Ya conoces la identidad fundamental, $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ . Si se divide toda entre $\cos^2 \theta$ o entre $\sin^2 \theta$ , salen dos identidades más: las que unen la tangente con la secante y la cotangente con la cosecante.

Concepto Clave

"No son fórmulas nuevas para memorizar: son la identidad pitagórica dividida entre cos² θ o entre sin² θ."

1. La tangente y la secante

Primero mira la idea: la tangente y la secante son lados de un triángulo rectángulo.

Momento animado

La tangente y la secante, como segmentos

Verde: la tangente (o la cotangente). Rojo: la secante (o la cosecante).

θ = 35°: 1 + 0,700² ≈ 1,490 ≈ 1,221² (1 + tan² θ = sec² θ)

1. La recta tangente. La recta x = 1 toca la circunferencia de radio 1 en un solo punto, A = (1; 0). P está a 35°.

Y con álgebra: ¿qué pasa si se divide todo entre el cuadrado del coseno?

\frac{\sin^2 \theta}{\cos^2 \theta} + \frac{\cos^2 \theta}{\cos^2 \theta} = \frac{1}{\cos^2 \theta}

\tan^2 \theta + 1 = \sec^2 \theta

Esta identidad conecta la pendiente de una línea ( $\tan$ ) con la longitud de la línea secante ( $\sec$ ).

Prueba Geométrica

Observa el triángulo rectángulo formado fuera del círculo.
Base = 1, Altura = Tangente, Hipotenusa = Secante.

1^2 + \tan^2 \theta = \sec^2 \theta

Apertura: 50°

* Llega hasta 75°: en 90° la tangente no existe, porque crece sin límite al acercarse.

1 + 1,19² = 2,42

(1,56)² = 2,42

Concepto Clave

"Si ves una 'tangente cuadrada' en una ecuación, grita '¡Secante cuadrada menos uno!'. Es el truco de sustitución más común."

2. La cotangente y la cosecante

De manera análoga, si dividimos la ecuación madre entre $\sin^2 \theta$ , obtenemos la versión "Co":

Derivación÷ sin²

1 + \cot^2 \theta = \csc^2 \theta

Es fácil de recordar por el paralelismo:
• Tan va con Sec.
• Cot va con Cosec.

Ejemplo resuelto

La vía del 12%

Una vía tiene una pendiente del 12% (tan θ = 0,12). ¿Cuántos metros de carretera hay por cada 100 m en horizontal? ¿Cuánto sube un carro que recorre 2 km sobre la vía?

1
De la tangente a la secante, sin calcular el ángulo
$\begin{aligned} \sec^2 \theta &= 1 + 0{,}12^2 = 1{,}0144 \\ \sec \theta &\approx 1{,}0072 \end{aligned}$
2
La secante es carretera ÷ horizontal
$100 \cdot 1{,}0072 \approx 100{,}72 \text{ m}$
3
Lo que sube en 2 km de vía
La subida es la carretera por el seno, y sin θ = tan θ ÷ sec θ.
$\begin{aligned} \sin \theta &= \frac{0{,}12}{1{,}0072} \\ &\approx 0{,}1191 \\ 2\,000 \cdot 0{,}1191 &\approx 238 \text{ m} \end{aligned}$

Hay unos 100,72 m de vía por cada 100 m en horizontal, y en 2 km de vía el carro sube unos 238 m. El ángulo de la vía es de unos 6,84°.

Para practicar

Ejercicio 1: Simplificación con Identidades Auxiliares

Reduce la siguiente expresión trigonométrica a su valor algebraico más simple:

(1 - \sin^2 x) \cdot \sec^2 x

Ejercicio 2 (tipo PISA): Diseño de Rampa de Acceso

La Rampa de Acceso. Una rampa vehicular se diseña con una pendiente de inclinación del 10% ( $m = \tan \theta = 0{,}10$ ). Un ingeniero estructural requiere calcular la longitud de la viga diagonal por cada metro horizontal de avance ( $\sec \theta$ ).

Empleando la identidad $\sec^2 \theta = 1 + \tan^2 \theta$ , ¿cuál es la longitud exacta de la secante?

Ejercicio 3: simplificar

¿A qué es igual sin θ · sec θ?

Ejercicio 4: con la identidad auxiliar

¿A qué es igual (sec² θ − 1) · cos² θ?

Ejercicio 5: una resta que se vuelve producto

¿A qué es igual sec θ − cos θ?

Ejercicio 6 (tipo Saber 11): la carretera de la pendiente

Una vía tiene una pendiente del 12%. ¿Cuántos metros de carretera hay por cada 100 m recorridos en horizontal?