1.1 Sistemas de medida: Grados y Radianes

¿A cuántos kilómetros del ecuador estás?

Un ángulo no es solo una esquina: mide cuánto gira un rayo alrededor de un punto fijo. Para medir ese giro hay dos sistemas:

1. Grados (°)

Parten la vuelta completa en 360 partes iguales. Es el sistema de los mapas, la navegación y los planos.

2. Radianes (rad)

Miden el arco con el mismo radio de la circunferencia: $\theta = \frac{s}{r}$ . Es el sistema que usa el Cálculo.

Concepto Clave

"Un ángulo mide giro. Los grados parten la vuelta en 360 partes; los radianes cuentan cuántos radios caben en el arco."

1. Los grados (°)

¿Por qué 360? Una explicación muy citada: los babilonios contaban en base 60 y el año tiene cerca de 360 días. Además, 360 tiene 24 divisores, así que se parte fácil entre 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12…

Vuelta completa360°
Media vuelta180°
Ángulo recto90°
Minutos y segundos1° = 60' = 3600''

2. El radián: el radio que se enrolla

Antes de la fórmula, mira la idea. Toma el radio de una circunferencia como si fuera un pedazo de cuerda y enróllalo sobre el borde.

Momento animado

El radio que se enrolla

Mira la cuerda roja: mide lo mismo que el radio todo el tiempo.

La cuerda roja mide r: un radio.

1. El radio. Esta circunferencia tiene radio r. Imagina ese radio como un pedazo de cuerda.

Lo que acabas de ver, en una fórmula

\theta = \frac{s}{r} \iff s = r \cdot \theta

$s$ es la longitud del arco y $r$ el radio: $\theta$ cuenta cuántos radios caben en el arco. La circunferencia completa mide $2\pi r$ , así que la vuelta entera mide $2\pi \text{ rad} \approx 6{,}283 \text{ rad}$ .

Ahora tú: mueve el ángulo y compara las dos medidas.

Laboratorio: grados y radianes

Arrastra el deslizador o pulsa un ángulo notable para comparar la longitud de arco sobre el círculo unitario ( $r = 1$ ).

Radio

r = 1

Arco

s = 0{,}79

Grados

45°

12,5% de 1 vuelta

Radianes

\frac{\pi}{4}

≈ 0,79 rad

Ángulo de giro:45° (0,79 rad)

Con radio 1: si el radio mide 1 metro, un ángulo de

\theta

radianes abarca un arco de exactamente

\theta

metros (

s = r\theta = 1 \cdot \theta = \theta

Concepto Clave

"El radián no tiene unidades: es una longitud dividida entre otra longitud. Por eso en Cálculo las funciones trigonométricas se derivan sin constantes raras."

3. De grados a radianes y de vuelta

Media vuelta mide a la vez $180^\circ$ y $\pi\text{ rad}$ (en la animación, media vuelta son 3,14 radios). Esa es la equivalencia:

180°π rad

De grados a radianes

Multiplica por $\frac{\pi}{180^\circ}$ :

\theta_{\text{rad}} = \theta_{\text{grados}} \cdot \frac{\pi}{180}

De radianes a grados

Multiplica por $\frac{180^\circ}{\pi}$ :

\theta_{\text{grados}} = \theta_{\text{rad}} \cdot \frac{180}{\pi}

Ejemplo resuelto

¿A cuántos kilómetros del ecuador está El Dorado?

La estación del IDEAM en El Dorado está a 4,705583° de latitud norte. Si la Tierra fuera una esfera de 6.371 km de radio, ¿a qué distancia del ecuador queda, medida sobre su meridiano?

1
Pasa el ángulo a radianes
La fórmula del arco solo sirve con el ángulo en radianes.
$\begin{aligned} \theta &= 4{,}705583 \cdot \frac{\pi}{180} \\ &\approx 0{,}08213 \text{ rad} \end{aligned}$
2
Multiplica por el radio de la Tierra
El arco que va del ecuador a la estación es s = r · θ.
$s = 6\,371 \cdot 0{,}08213 \approx 523 \text{ km}$
3
Revisa si tiene sentido
4,7° es 1/76,5 de la vuelta, y la circunferencia de la Tierra mide unos 40.030 km: 40.030 ÷ 76,5 da otra vez unos 523 km.

La estación está a unos 523 km del ecuador. Es una aproximación: la Tierra no es una esfera perfecta, está un poco achatada en los polos.

Ejercicios de entrenamiento

Ejercicio 1: de grados a radianes

¿Cuál es la medida exacta en radianes del ángulo 300°, simplificada?

Ejercicio 2: de radianes a grados

Un satélite gira su antena un ángulo de θ = 7π/6 radianes. ¿A cuántos grados equivale ese giro?

Ejercicio 3 (tipo PISA): el arco de un aspersor

Un aspersor de riego barre un ángulo central de θ = 2π/3 radianes (120°) con un chorro que alcanza 6 metros. ¿Qué distancia recorre la punta del chorro sobre el césped?

Ejercicio 4: el ángulo a partir del arco

En una circunferencia de 5 cm de radio, un arco mide 8 cm. ¿Cuánto mide su ángulo central?

Ejercicio 5: el minutero de la iglesia

El minutero del reloj de una iglesia mide 1,2 m. ¿Cuánto recorre su punta en 20 minutos?

Ejercicio 6 (tipo Saber 11): de Riohacha a Leticia

Las estaciones del IDEAM de Riohacha y de Leticia están a 11,53° de latitud norte y a 4,20° de latitud sur. Si la Tierra fuera una esfera de 6.371 km de radio, ¿qué distancia hay entre sus paralelos, medida sobre un meridiano?

¿Por qué el Cálculo usa radianes?

Con el ángulo en radianes, el límite $\lim_{\theta \to 0} \frac{\sin \theta}{\theta}$ da exactamente 1. Con grados daría $\frac{\pi}{180} \approx 0{,}01745$ , y la derivada del seno cargaría ese factor: $\frac{\pi}{180} \cos x$ . Los radianes no traen constantes de más, porque miden el arco con el mismo radio.