8. La Regla de L'Hôpital | Cálculo Diferencial

Para empezar

Dos cosas que se van a cero a la vez

En la lección 2.1, la velocidad de la moto en un instante daba $\tfrac{0}{0}$ : la distancia recorrida y el tiempo se iban a cero juntos. Lo que importaba era cuál se encogía más rápido.

La regla de L'Hôpital responde eso con derivadas: compara las velocidades a las que se van a cero. Mírala con un zoom.

Momento animado

De cerca, todo es una recta

Etapa 1 de 4 · Dos curvas a 0

f(x) = \sin(2x)

g(x) = x

valen 0 en

x = 0

: el cociente queda

\tfrac{0}{0}

. Cerca de 0, las dos alturas se encogen. ¿Cuál se encoge más rápido?

f(x) = sin(2x)
g(x) = x

x = 1 · f(x) = 0,9092974 · g(x) = 1

f(x) ÷ g(x) = 0,9092974 → se acerca a 2

Cuando las Matemáticas se Rompen

Imagina una carrera donde dos corredores cruzan la línea de meta al mismo instante exacto. Si solo miras la fotografía estática de la llegada ( $0/0$ ), no puedes saber cuál fue más rápido. Necesitas analizar la velocidad instantánea a la que alcanzaron el umbral.

Esa es la esencia de la Regla de L'Hôpital. Si dos funciones diferenciables $f(x)$ y $g(x)$ colapsan hacia cero o divergen hacia infinito, la razón de sus valores se resuelve mediante la razón de sus velocidades de cambio (sus derivadas).

Teorema Fundamental de L'Hôpital

\lim_{x \to c} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to c} \frac{f'(x)}{g'(x)}

Válido si el límite de la izquierda tiene la forma $\frac{0}{0}$ o $\frac{\pm\infty}{\pm\infty}$ y el límite de la derecha existe (o es infinito).

Laboratorio

Microscopio de L’Hôpital

Arrastra $x$ hacia 0. La ventana se acerca contigo: mira el cociente y las dos curvas.

$\frac{f(x)}{g(x)}$
El cociente en x
La meta: 2
Hueco: en 0 no existe

Distancia de

x

a 0x = 1

\lim_{x \to 0} \frac{\sin(2x)}{x} = 2

El cociente en x = 1

0,909297

La meta, el límite

Diferencia: 1,090703 · f(x) = 0,909297 y g(x) = 1, los dos cerca de 0 · aumento de 2 veces

Pendientes de las tangentes en 0: $f'(0) = 2$ y $g'(0) = 1$ . Cerca de 0, $\sin(2x)$ se parece a su tangente $y = 2x$ y $g$ ya es una recta. El cociente se acerca a $\tfrac{2}{1} = 2$ , que es lo que calcula L’Hôpital: $\tfrac{f'(0)}{g'(0)} = \tfrac{2\cos 0}{1} = 2$ .

x = 1 no es 0: el cociente vale 0,909297, a 1,090703 de 2. Al acercar x a 0, la diferencia se encoge: 2 es el límite, y el cociente no lo alcanza en ningún x de aquí.

¡La Trampa Mortal!

NUNCA apliques L'Hôpital si el límite no es indeterminado.

Ejemplo: $\lim_{x \to 0} \frac{\cos(x)}{x+1}$ .
Sustitución directa: $\frac{1}{1} = 1$ (Correcto).
L'Hôpital errado: $\frac{-\sin(0)}{1} = 0$ (¡Error fatal!).

El Secreto de Johann Bernoulli

Aunque lleva el nombre del marqués Guillaume de L'Hôpital tras publicarla en 1696 en el primer libro de texto de cálculo diferencial, la regla fue descubierta por el genio suizo Johann Bernoulli, a quien el marqués pagaba una pensión anual a cambio de sus descubrimientos.

Ejemplo resuelto

L'Hôpital dos veces

Calcula

\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2}

1
Revisa la forma
En $x = 0$ : $1 - \cos 0 = 0$ y $0^2 = 0$ . Es $\tfrac{0}{0}$ : se puede usar la regla.
2
Deriva arriba y abajo por separado
$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{2x}$
3
Sigue siendo 0/0: otra vez
$\lim_{x \to 0} \frac{\cos x}{2} = \frac{1}{2}$
4
Comprueba con un valor cercano
Con $x = 0{,}1$ : $\frac{1 - \cos 0{,}1}{0{,}01} \approx 0{,}4996$ , muy cerca de 0,5.

Cada vez que se aplica la regla hay que revisar otra vez la forma. Cuando deja de ser indeterminada, se reemplaza.

Ejercicios: regla de L’Hôpital

Resuelve límites de cálculo avanzado y previene los errores conceptuales más frecuentes en exámenes.

Ejercicio 1 • Aplicación Iterada (Doble Derivada)1 punto

Calcula el valor exacto del siguiente límite indeterminado:

\lim_{x \to 0} \frac{e^x - x - 1}{x^2}

Ejercicio 2 • ¡La Trampa Mortal del Marqués!1 punto

¿Cuál es el valor del límite $\lim_{x \to 0} \frac{\cos(x)}{x + 1}$ ?

Ejercicio 3 • Aplicación en Superconductores (física, tipo PISA)1 punto

La corriente en un circuito RL satisface $I(t) = \frac{V}{R}(1 - e^{-Rt/L})$ . En un material superconductor la resistencia se anula ( $R \to 0$ ). ¿Cuál es la ley de corriente resultante usando L’Hôpital con respecto a la variable $R$ ?

Ejercicio 4: Una exponencial

Calcula

\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x}

Ejercicio 5: ¿Cuándo se puede usar?

¿En cuál de estos casos se puede usar la regla de L'Hôpital tal como está?

Ejercicio 6: Una trampa

Calcula

\lim_{x \to 1} \frac{x^2 + 1}{x + 1}

Ejercicio 7: Infinito sobre infinito

Calcula

\lim_{x \to \infty} \frac{3x^2 + 1}{x^2 - 5}

Ejercicio 8: ¿Qué se deriva?

Para aplicar L'Hôpital a

\frac{\sin(2x)}{x}

x \to 0

, ¿qué se calcula?

Dos cosas que se van a cero a la vez

De cerca, todo es una recta

Cuando las Matemáticas se Rompen

Microscopio de L’Hôpital

¡La Trampa Mortal!

El Secreto de Johann Bernoulli

L'Hôpital dos veces

Ejercicios: regla de L’Hôpital

Calcula el valor exacto del siguiente límite indeterminado:

¿Cuál es el valor del límite lim⁡x→0cos⁡(x)x+1\lim_{x \to 0} \frac{\cos(x)}{x + 1}limx→0​x+1cos(x)​?

La corriente en un circuito RL satisface I(t)=VR(1−e−Rt/L)I(t) = \frac{V}{R}(1 - e^{-Rt/L})I(t)=RV​(1−e−Rt/L). En un material superconductor la resistencia se anula (R→0R \to 0R→0). ¿Cuál es la ley de corriente resultante usando L’Hôpital con respecto a la variable RRR?

¿Cuál es el valor del límite $\lim_{x \to 0} \frac{\cos(x)}{x + 1}$ ?

La corriente en un circuito RL satisface $I(t) = \frac{V}{R}(1 - e^{-Rt/L})$ . En un material superconductor la resistencia se anula ( $R \to 0$ ). ¿Cuál es la ley de corriente resultante usando L’Hôpital con respecto a la variable $R$ ?