7. Taller de Optimización | Cálculo Diferencial

El Arte del Compromiso (Trade-off)

En la lección anterior vimos problemas directos. Hoy enfrentaremos situaciones donde hay un conflicto de intereses:

Geometría: Queremos un cilindro grande, pero la esfera que lo contiene nos limita. Si lo hacemos muy ancho, debe ser bajo. Si es alto, debe ser delgado.
Costos: Queremos llegar rápido, pero el camino directo es el más caro. ¿Cuánto nos desviamos para ahorrar?

El Problema de la Tubería (o el Salvavidas)

Imagina que debes conectar una plataforma petrolera en el mar con una refinería en tierra.
Poner tubería bajo el agua es mucho más caro que en tierra. ¿Cuál es la ruta más barata?

Mar (Caro: $5/km)

Tierra (Barato: $3/km)

Costo Total vs Punto de Cruce (x)

Punto de Cruce en la Costa (x)

$48.41

x=0 (Línea Recta Vertical)x=10 (Línea Recta Diagonal)

La Paradoja: La línea recta (distancia mínima) NO es la más barata. Conviene viajar un poco más por tierra (barato) para acortar el tramo de agua (caro).

Modelo Matemático:
Sea

x

el punto donde la tubería toca tierra.

C(x) = Precio_{agua} \cdot \sqrt{x^2 + h^2} + Precio_{tierra} \cdot (D - x)

La Naturaleza es Perezosa (Principio de Fermat)

Lo fascinante del problema anterior es que la luz hace exactamente lo mismo.

Ley de Snell y Derivadas

Cuando la luz pasa del aire al agua, se dobla (refracta). No lo hace por capricho, sino para minimizar el tiempo de viaje.

Si resuelves el problema de optimización $t'(x) = 0$ , obtienes exactamente la Ley de Snell de la física:
$\frac{\sin(\theta_1)}{v_1} = \frac{\sin(\theta_2)}{v_2}$

Taller de Resolución

1. El Cilindro en la Esfera

Se quiere inscribir un cilindro circular recto dentro de una esfera de radio fijo $R$ . Encuentra la altura $h$ del cilindro que maximiza su volumen.

Ver Pasos de Solución

1. Restricción (Pitágoras)

Mirando el corte transversal: $r^2 + (h/2)^2 = R^2$ .
Despejamos $r^2$ (más fácil): $r^2 = R^2 - h^2/4$ .

2. Función Objetivo (Volumen)

$V = \pi r^2 h$ . Sustituimos $r^2$ :
$V(h) = \pi (R^2 - h^2/4) h = \pi (R^2 h - h^3/4)$ .

3. Derivar e Igualar a 0

$V'(h) = \pi (R^2 - 3h^2/4) = 0$
$R^2 = 3h^2/4 \implies h^2 = 4R^2/3$

Respuesta:

h = \frac{2R}{\sqrt{3}}

CONTEXTO PISA / ENERGÍA RENOVABLE

Conexión Offshore

Una turbina eólica está situada en el mar, a 5 km de la costa recta. La subestación eléctrica está en la costa, a 12 km del punto más cercano a la turbina.

Costos de cableado:

Submarino: $1,000,000 / km
Subterráneo (costa): $600,000 / km

Misión: Determina a qué distancia $x$ (desde el punto más cercano en la costa) debe salir el cable del agua para minimizar el costo total del proyecto.

Presupuesto

Distancia Agua: $\sqrt{25 + x^2}$
Distancia Tierra: $12 - x$
Función Costo: $10\sqrt{25+x^2} + 6(12-x)$
(en cientos de miles)

Calcular Punto Óptimo

Derivamos $C(x)$ e igualamos a cero:

\frac{10x}{\sqrt{25+x^2}} - 6 = 0

Despejando: $10x = 6\sqrt{25+x^2}$ . Elevamos al cuadrado:
$100x^2 = 36(25 + x^2)$
$64x^2 = 900 \implies x^2 = 14.06$

x = 3.75 \text{ km}

El cable debe tocar tierra a 3.75 km del punto perpendicular a la turbina.