7. Taller de Optimización | Cálculo Diferencial

Para empezar

¿Lo que más produce es lo que más conviene?

En un ensayo con maíz en el Valle de San Juan (Tolima), el mayor rendimiento, 10.469 kg de grano por hectárea, salió con 128.571 plantas por hectárea. Pero la mayor rentabilidad, del 58%, salió con 87.500.

Optimizar empieza por decidir qué se hace máximo. Después, la derivada encuentra dónde. Mírala trabajar en una caja.

Fuente: Quevedo, Beltrán y Barragán-Quijano, «Effect of sowing density on yield and profitability of a hybrid corn under tropical conditions», Agronomía Colombiana 36(3), 2018.

Momento animado

La caja que cambia de forma

Etapa 1 de 4 · La lámina

Una lámina cuadrada de 30 cm. En cada esquina se corta un cuadrado de lado

x

: aquí, 5 cm.

Corte (alto): 5,00 cm
Fondo: 20,00 cm por lado
Volumen V(x): 2.000 cm³
Pendiente V′(x): 0,0

Ejemplo resuelto

La caja de volumen máximo

De una lámina cuadrada de 30 cm se cortan cuadrados de lado

x

en las esquinas y se doblan las pestañas. ¿Qué corte da la caja de mayor volumen?

1
Función objetivo y dominio
El fondo mide $30 - 2x$ por lado y el alto, $x$ . Para que haya caja, $0 < x < 15$ .
$V(x) = x(30 - 2x)^2$
2
Deriva con la regla del producto y factoriza
$\begin{aligned} V'(x) &= (30 - 2x)^2 - 4x(30 - 2x) \\ &= (30 - 2x)(30 - 6x) \\ &= 12(x - 5)(x - 15) \end{aligned}$
3
Puntos críticos dentro del dominio
$V'(x) = 0$ en $x = 5$ y en $x = 15$ , pero 15 es un borde (ahí el fondo mide 0). Queda $x = 5$ .
4
Comprueba que es un máximo
$V'(4) = 132 > 0$ y $V'(6) = -108 < 0$ : el volumen sube y después baja. También $V''(5) = -120 < 0$ .
5
Responde con unidades
Corte de 5 cm: fondo de 20 × 20 cm, alto de 5 cm y $V(5) = 2\,000$ cm³, es decir, 2 litros. Con 1 cm caben 784 cm³, y con 14 cm, 56 cm³.

En el momento animado se ve lo mismo: la gráfica sube hasta 2.000 cm³ en

x = 5

, ahí la tangente es horizontal, y después baja.

El Arte del Compromiso

En la lección anterior vimos problemas directos. Hoy enfrentaremos situaciones donde hay un conflicto de intereses:

Geometría: Queremos un cilindro grande, pero la esfera que lo contiene nos limita. Si lo hacemos muy ancho, debe ser bajo. Si es alto, debe ser delgado.
Costos: Queremos llegar rápido, pero el camino directo es el más caro. ¿Cuánto nos desviamos para ahorrar?

El Problema de la Tubería (o el Salvavidas)

Imagina que debes conectar una plataforma petrolera en el mar con una refinería en tierra.
Poner tubería bajo el agua es mucho más caro que en tierra. ¿Cuál es la ruta más barata?

Laboratorio

El buscador de rutas

Mueve el punto donde el cable toca la costa. El agua es más cara que la tierra: ¿dónde conviene cruzar?

Costo total C(x), en $
Mínimo, x ≈ 2,67
Línea recta fuente–destino (mapa)

Punto de cruce en la costa,

x

x = 4 km

Costo de tu ruta

$48,41

5,66 km por agua y 6,71 km por tierra

El mínimo

$47,81

En x ≈ 2,67 km

Con x = 4 km la ruta cuesta $48,41: $0,60 más que la más barata. La línea recta (la más corta) cruza la costa en x ≈ 5,71 km y cuesta $50,57: conviene hacer más camino por tierra, que es barata, para acortar el tramo por agua.

Modelo Matemático:
Sea

x

el punto donde la tubería toca la costa. El tramo por agua va de la fuente, a 4 km de la costa, hasta ese punto; el de tierra, de ahí al destino, 10 km más allá y 3 km tierra adentro:

C(x) = 5\sqrt{x^2 + 16} + 3\sqrt{(10 - x)^2 + 9}

La Naturaleza es Perezosa (Principio de Fermat)

Lo fascinante del problema anterior es que la luz hace exactamente lo mismo.

Ley de Snell y Derivadas

Cuando la luz pasa del aire al agua, se dobla (refracta). No lo hace por capricho, sino para minimizar el tiempo de viaje.

Si resuelves el problema de optimización $t'(x) = 0$ , obtienes exactamente la Ley de Snell de la física:
$\frac{\sin(\theta_1)}{v_1} = \frac{\sin(\theta_2)}{v_2}$

Taller de Resolución

1. El Cilindro en la Esfera

Se quiere inscribir un cilindro circular recto dentro de una esfera de radio fijo $R$ . Encuentra la altura $h$ del cilindro que maximiza su volumen.

Ejercicio interactivo: Dimensión Óptima del Cilindro

¿Qué altura $h$ debe tener el cilindro inscrito en una esfera de radio $R$ para maximizar su volumen?

CONTEXTO TIPO PISA / ENERGÍA RENOVABLE

Conexión Offshore

Una turbina eólica está situada en el mar, a 5 km de la costa recta. La subestación eléctrica está en la costa, a 12 km del punto más cercano a la turbina.

Costos de cableado:

Submarino: US$1.000.000 por km
Subterráneo (costa): US$600.000 por km

Misión: Determina a qué distancia $x$ (desde el punto más cercano en la costa) debe salir el cable del agua para minimizar el costo total del proyecto.

Presupuesto

Distancia Agua: $\sqrt{25 + x^2}$
Distancia Tierra: $12 - x$
Función Costo: $10\sqrt{25+x^2} + 6(12-x)$
(en cientos de miles)

Decisión Logística: Punto de Salida a Tierra

¿A qué distancia $x$ del punto perpendicular más cercano debe salir el cable a tierra para minimizar el costo presupuestario total?

Pregunta 3 · La función objetivo

De una lámina cuadrada de 30 cm se cortan cuadrados de lado

x

en las esquinas y se doblan las pestañas. ¿Cuál es el volumen de la caja?

Pregunta 4 · Cuál punto crítico

V'(x) = 12(x - 5)(x - 15)

se anula en

x = 5

y en

x = 15

. ¿Cuál da la caja de volumen máximo?

Pregunta 5 · El volumen máximo

Con el corte óptimo,

x = 5

cm, ¿cuánto le cabe a la caja?

Pregunta 6 · ¿Qué se hace máximo?

En un ensayo con maíz híbrido en el Valle de San Juan (Tolima), el mayor rendimiento, 10.469 kg por hectárea, salió con 128.571 plantas por hectárea. La mayor rentabilidad, del 58%, salió con 87.500. ¿Qué densidad le conviene a quien siembra para ganar más por cada peso invertido?