6. Optimización: Introducción | Cálculo Diferencial

Para empezar

¿Qué forma gasta menos material?

En La Mojana, el Fondo Adaptación y el PNUD instalaron desde 2020 más de 1.500 soluciones de agua para hogares rurales sin acueducto. Cada sistema familiar de agua lluvia guarda hasta 5.000 litros.

Un tanque de 5.000 litros puede ser alto y delgado o bajito y ancho. Todos guardan lo mismo, pero no gastan el mismo material. ¿Cuál gasta menos? Míralo cambiar de forma.

Fuente: PNUD Colombia, «Fondo Adaptación y PNUD entregan soluciones hídricas a comunidades rurales de La Mojana», 2 de julio de 2025.

Momento animado

El tanque que gasta menos material

Etapa 1 de 4 · 5.000 litros

Un tanque de 5.000 litros (5 m³) con radio de 0,5 m tiene que ser muy alto: 6,37 m. Gasta 21,57 m² de material entre paredes, tapa y fondo.

Radio: 0,50 m
Alto: 6,37 m
Material A(r): 21,57 m²
Pendiente A′(r): -33,72

Todos guardan 5.000 litros: π · r² · h = 5 m³. El radio va de 0,5 a 2,0 m.

¿Por qué conformarse con 'bueno'?

En ingeniería, economía y diseño, no basta con encontrar una solución que funcione. Buscamos la mejor solución posible.

¿Cómo diseño una lata de gaseosa para usar el mínimo aluminio posible?
¿Qué precio debo poner a mi producto para obtener la máxima ganancia?
¿Cuál es la trayectoria de mínimo consumo de combustible?

El Cálculo nos da la herramienta clave: si podemos modelar el problema como una función $f(x)$ , buscamos el óptimo donde $f'(x) = 0$ y lo comparamos con los extremos del intervalo.

El Clásico: La Caja de Volumen Máximo

Tienes una lámina de cartón de 30 cm × 20 cm. Quieres construir una caja sin tapa recortando cuadrados iguales de tamaño $x$ en las cuatro esquinas y doblando los lados hacia arriba.

Usa el simulador. Si cortas muy poco ( $x$ pequeño), la caja es muy baja. Si cortas mucho ( $x$ grande), la base es muy pequeña. ¿Dónde está el punto dulce?

Laboratorio

Optimizador de cajas

Mueve el tamaño del corte $x$ . Un corte pequeño deja la caja bajita; uno grande, sin fondo. ¿Dónde cabe más?

$V(x)$ en cm³
Tu corte
Máximo exacto, $x \approx 3{,}92$

Tamaño del corte,

x

x = 2 cm

Volumen de tu caja

832,0 cm³

Altura 2 cm

El máximo

1.056,3 cm³

En x ≈ 3,92 cm, donde V′(x) = 0

Con x = 2 cm caben 832,0 cm³: 224,3 cm³ menos que el máximo.

El Modelo Matemático:
Volumen = Largo × Ancho × Alto

V(x) = (30 - 2x)(20 - 2x)(x)

Receta para Optimizar

La dificultad no suele estar en derivar, sino en plantear el problema. Sigue estos 5 pasos sagrados:

Paso 1

Dibujar y Etiquetar

Nunca intentes hacerlo mentalmente. Dibuja y asigna variables ( $x, y, r, h$ ).

Paso 2

Función Objetivo

Escribe la fórmula de lo que quieres maximizar o minimizar (ej. $A = x \cdot y$ ).

Paso 3

La Restricción

Encuentra la ecuación que relaciona las variables (ej. $2x + 2y = 100$ ). Úsala para despejar una variable.

Paso 4

Derivar e Igualar a 0

Sustituye para tener una sola variable, deriva $f'(x)$ y busca los puntos críticos.

Consejo de Experto (Paso 5): ¡Verifica el Dominio!
A veces el máximo no está en el punto crítico, sino en los extremos del intervalo físico (ej. $x=0$ ). Aunque en problemas prácticos, suele ser el punto crítico.

Ejemplo resuelto

El tanque de 5.000 litros que gasta menos

Un tanque cilíndrico cerrado debe guardar 5 m³. ¿Qué radio y qué alto gastan menos material?

1
Función objetivo: el material
Paredes, tapa y fondo:
$A = 2\pi r^2 + 2\pi r h$
2
Restricción: el volumen
De $\pi r^2 h = 5$ se despeja $h = \frac{5}{\pi r^2}$ y se reemplaza. El dominio es $r > 0$ .
$\begin{aligned} A(r) &= 2\pi r^2 + 2\pi r \cdot \frac{5}{\pi r^2} \\ &= 2\pi r^2 + \frac{10}{r} \end{aligned}$
3
Deriva e iguala a 0
$\begin{aligned} A'(r) &= 4\pi r - \frac{10}{r^2} = 0 \\ r^3 &= \frac{5}{2\pi} \\ r &\approx 0{,}93 \text{ m} \end{aligned}$
4
Comprueba que es un mínimo
La segunda derivada es positiva para todo $r > 0$ : la curva es un valle.
$A''(r) = 4\pi + \frac{20}{r^3} > 0$
5
Responde con unidades
$h = \frac{5}{\pi r^2} \approx 1{,}85$ m y $A \approx 16{,}19$ m². Un tanque de 0,5 m de radio gasta 21,57 m², y uno de 1,8 m, 25,91 m².

El tanque que menos gasta tiene el alto igual al diámetro:

h = 2r

. Pasa con cualquier volumen, y por eso la lata de 330 ml de «El envase eficiente» da la misma proporción.

Entrenamiento Práctico

1. El Granjero y el Río

Un granjero tiene 100 metros de cerca para delimitar un terreno rectangular adyacente a un río recto. No necesita poner cerca del lado del río.
¿Qué dimensiones ( $x, y$ ) maximizan el área del terreno?

RÍO (Sin cerca)

Área = xyxy

Ejercicio: Dimensiones de Área Máxima

¿Qué dimensiones $(x, y)$ y área máxima se obtienen con 100 m de cerca adyacente al río?

CONTEXTO TIPO PISA / DISEÑO INDUSTRIAL

El Envase Eficiente

Una empresa de bebidas quiere diseñar una lata cilíndrica de 330 ml ( $330 \text{cm}^3$ ).

El metal cuesta dinero. Para ahorrar costos y ser ecológicos, necesitan minimizar la superficie total del metal usado (tapa, base y lateral).

Desafío: ¿Cuál debe ser la relación entre la altura $h$ y el radio $r$ para minimizar el material?

Datos Técnicos

Volumen (Fijo): $\pi r^2 h = 330$
Área (Minimizar): $2\pi r^2 + 2\pi r h$
Objetivo:Hallar $r$ óptimo

Diseño Industrial: Proporción de Mínimo Material

¿Cuál es la relación matemática exacta entre la altura $h$ y el radio $r$ para minimizar el material de una lata cilíndrica cerrada?

Pregunta 3 · El alto del tanque delgado

Un tanque cilíndrico guarda 5 m³ (5.000 litros):

\pi r^2 h = 5

. Si su radio es

r = 0{,}5

m, ¿qué alto tiene?

Pregunta 4 · Dónde se anula la derivada

El material del tanque de 5 m³ es

A(r) = 2\pi r^2 + \frac{10}{r}

. ¿En qué radio se cumple

A'(r) = 0

Pregunta 5 · ¿Mínimo o máximo?

¿Cómo se sabe que

r \approx 0{,}93

m da el tanque con menos material y no con más?

Pregunta 6 · Dos puntos críticos

En la caja de la lámina de 30 cm × 20 cm,

V'(x) = 12x^2 - 200x + 600 = 0

x \approx 3{,}92

x \approx 12{,}74

. ¿Cuál da la caja de volumen máximo?