6. Optimización: Introducción | Cálculo Diferencial

¿Por qué conformarse con 'bueno'?

En ingeniería, economía y diseño, no basta con encontrar una solución que funcione. Buscamos la mejor solución posible.

¿Cómo diseño una lata de refresco para usar el mínimo aluminio posible?
¿Qué precio debo poner a mi producto para obtener la máxima ganancia?
¿Cuál es la trayectoria de mínimo consumo de combustible?

El Cálculo nos da la herramienta definitiva: si podemos modelar el problema como una función $f(x)$ , encontrar el óptimo es tan simple como buscar dónde $f'(x) = 0$ .

El Clásico: La Caja de Volumen Máximo

Tienes una lámina de cartón de 30 cm x 20 cm. Quieres construir una caja sin tapa recortando cuadrados iguales de tamaño $x$ en las cuatro esquinas y doblando los lados hacia arriba.

Usa el simulador. Si cortas muy poco ( $x$ pequeño), la caja es muy baja. Si cortas mucho ( $x$ grande), la base es muy pequeña. ¿Dónde está el punto dulce?

Lámina de Cartón (Vista Superior)

Corte (x): 2.0 cm
Altura de la caja: 2.0 cm

Volumen vs Corte (x)

Tamaño del recorte (x)

V = 832 cm³

0 cm (Sin caja)10 cm (Sin fondo)

El Modelo Matemático:
Volumen = Largo × Ancho × Alto

V(x) = (30 - 2x)(20 - 2x)(x)

Receta para Optimizar

La dificultad no suele estar en derivar, sino en plantear el problema. Sigue estos 5 pasos sagrados:

Paso 1

Dibujar y Etiquetar

Nunca intentes hacerlo mentalmente. Dibuja y asigna variables ( $x, y, r, h$ ).

Paso 2

Función Objetivo

Escribe la fórmula de lo que quieres maximizar o minimizar (ej. $A = x \cdot y$ ).

Paso 3

La Restricción

Encuentra la ecuación que relaciona las variables (ej. $2x + 2y = 100$ ). Úsala para despejar una variable.

Paso 4

Derivar e Igualar a 0

Sustituye para tener una sola variable, deriva $f'(x)$ y busca los puntos críticos.

Consejo de Experto (Paso 5): ¡Verifica el Dominio!
A veces el máximo no está en el punto crítico, sino en los extremos del intervalo físico (ej. $x=0$ ). Aunque en problemas prácticos, suele ser el punto crítico.

Entrenamiento Práctico

1. El Granjero y el Río

Un granjero tiene 100 metros de cerca para delimitar un terreno rectangular adyacente a un río recto. No necesita poner cerca del lado del río.
¿Qué dimensiones ( $x, y$ ) maximizan el área del terreno?

RÍO (Sin cerca)

Área = xyxy

Ver Solución Paso a Paso

1. Restricción (Perímetro)

$2x + y = 100 \implies y = 100 - 2x$

2. Función Objetivo (Área)

$A(x) = x \cdot y = x(100 - 2x) = 100x - 2x^2$

3. Derivar

$A'(x) = 100 - 4x$

4. Resolver

$100 - 4x = 0 \implies 4x = 100 \implies x = 25$

Respuesta: x = 25m, y = 50m. Área Máxima = 1250 m².

CONTEXTO PISA / DISEÑO INDUSTRIAL

El Envase Eficiente

Una empresa de bebidas quiere diseñar una lata cilíndrica de 330 ml ( $330 \text{cm}^3$ ).

El metal cuesta dinero. Para ahorrar costos y ser ecológicos, necesitan minimizar la superficie total del metal usado (tapa, base y lateral).

Desafío: ¿Cuál debe ser la relación entre la altura $h$ y el radio $r$ para minimizar el material?

Datos Técnicos

Volumen (Fijo): $\pi r^2 h = 330$
Área (Minimizar): $2\pi r^2 + 2\pi r h$
Objetivo:Hallar $r$ óptimo

Ver Resultado del Diseño

Al despejar $h$ del volumen ( $h = 330 / \pi r^2$ ) y sustituir en la fórmula del área, derivamos e igualamos a cero.

Resultado Matemático

h = 2r

La altura debe ser igual al diámetro.

Curiosidad: Las latas reales no siguen esto exactamente (h menor que 2r) por razones de marketing (se ven más grandes) y logística (apilamiento), aunque gasten un poco más de metal.