4. Concavidad y Segunda Derivada | Cálculo Diferencial

Para empezar

Crecer cada vez más despacio

Según las proyecciones de Naciones Unidas, Colombia sumaría unos 2,3 millones de personas entre 2025 y 2030, y solo unos 0,2 millones entre 2045 y 2050. La población sigue creciendo, pero cada vez más despacio.

La primera derivada dice si algo sube. La segunda dice si sube cada vez más rápido o cada vez más despacio: es la concavidad. Mírala en la tangente.

Fuente: Naciones Unidas, World Population Prospects, en los datos del Banco Mundial (proyecciones de población de Colombia).

Momento animado

La tangente que gira

Etapa 1 de 4 · Hacia abajo

La tangente gira en el sentido del reloj: su pendiente baja. La curva queda debajo de la tangente: es cóncava hacia abajo, y

f''(x) < 0

x: -0,80
f′(x): 6,72
f″(x): -10,80

Cóncava hacia abajo: la curva queda bajo la tangente y la pendiente baja (f″ < 0).

La Curvatura del Espacio

La primera derivada nos dice si subimos o bajamos. Pero dos montañas pueden subirse de formas muy distintas: una puede volverse cada vez más empinada (exponencial) y otra cada vez más suave (logarítmica).

Aquí entra la Segunda Derivada $f''(x)$ . Ella mide cómo cambia la pendiente. Es el "sentimiento" de la curva.

Cóncava Hacia Arriba

f''(x) > 0

La gráfica está por encima de sus tangentes.
"Sostiene agua como una taza."

Cóncava Hacia Abajo

f''(x) < 0

La gráfica está por debajo de sus tangentes.
"Derrama agua como un paraguas."

Puntos de Inflexión

Un Punto de Inflexión es el lugar exacto donde la curva cambia de concavidad (de feliz a triste, o viceversa). En este punto, la segunda derivada es cero o no existe.

Usa el simulador para encontrar el punto de inflexión en $x=1$ . Nota cómo la tangente cruza la curva en ese instante.

Laboratorio

Rayos X de curvatura

Mueve el punto a través de $x = 1$ . Mira el signo de $f''(x) = 6x - 6$ y de qué lado de la tangente queda la curva.

$f(x) = x^3 - 3x^2 + 2$
Tangente en el punto
Inflexión

Posición del punto,

x

x = 0,3

Concavidad, $f''(x)$

-4,2

Pendiente, $f'(x)$

-1,53

Tabla de signos

x < 1f″ < 0 · paraguas
x > 1f″ > 0 · taza

f''(0,3) = -4,2 < 0: cóncava hacia abajo, como un paraguas. La curva queda por debajo de su tangente.

El Atajo del Experto

¿Recuerdas que para encontrar máximos y mínimos usábamos una tabla de signos? La segunda derivada nos ofrece un atajo brutalmente rápido si la función es fácil de derivar.

Criterio de la Segunda Derivada

Si $f'(c) = 0$ (es un punto crítico horizontal), entonces:

Si $f''(c) > 0$ (Sonrisa) ➔ Hay un MÍNIMO LOCAL.
Si $f''(c) < 0$ (Tristeza) ➔ Hay un MÁXIMO LOCAL.

*Si f''(c) = 0, el criterio falla y debes volver a la primera derivada.

Ejemplo resuelto

Concavidad e inflexión de x³ − 3x² + 2

Para

f(x) = x^3 - 3x^2 + 2

, halla dónde es cóncava hacia arriba, dónde hacia abajo y su punto de inflexión. Clasifica sus puntos críticos.

1
Deriva dos veces
$\begin{aligned} f'(x) &= 3x^2 - 6x = 3x(x - 2) \\ f''(x) &= 6x - 6 \end{aligned}$
2
Busca dónde f″ vale 0
$6x - 6 = 0 \;\Longrightarrow\; x = 1$
3
Revisa el signo de f″ a cada lado
$f''(0) = -6 < 0$ : cóncava hacia abajo en $(-\infty, 1)$ . $f''(2) = 6 > 0$ : cóncava hacia arriba en $(1, \infty)$ . Cambia de signo: hay inflexión en $(1, f(1)) = (1, 0)$ .
4
Clasifica los críticos con f″
En $x = 0$ : $f''(0) = -6 < 0$ , máximo local, $f(0) = 2$ . En $x = 2$ : $f''(2) = 6 > 0$ , mínimo local, $f(2) = -2$ .

Es lo que se vio en el momento animado: la tangente gira en el sentido del reloj hasta

x = 1

y al revés después; la pendiente

f'

llega a su valor más bajo, −3, justo en la inflexión.

Entrenamiento Práctico

1. Anatomía de un Polinomio

Determina los intervalos de concavidad y los puntos de inflexión de:

f(x) = x^4 - 4x^3

Ejercicio: Anatomía de la Segunda Derivada

¿Cuáles son los puntos de inflexión e intervalos de concavidad de $f(x) = x^4 - 4x^3$ ?

CONTEXTO TIPO PISA / EPIDEMIOLOGÍA

Aplanando la Curva

Durante una epidemia, el número total de infectados $I(t)$ sigue una curva logística (forma de S).

Al principio, el crecimiento es exponencial (cóncava hacia arriba). Eventualmente, el crecimiento se desacelera (cóncava hacia abajo) hasta estabilizarse.

Concepto Clave: El "pico de contagios diarios" ocurre exactamente en el punto de inflexión de la curva total $I(t)$ . ¿Por qué?

Análisis de Datos

Total Infectados: $I(t)$
Nuevos casos diarios: $I'(t)$
Cambio en la velocidad: $I''(t)$

Telemetría Epidemiológica: El Pico de la Curva

¿Por qué el momento de máxima propagación diaria de la pandemia coincide matemáticamente con el punto de inflexión de $I(t)$ ?

Pregunta 3 · ¿Dónde es cóncava hacia arriba?

¿En qué intervalo es cóncava hacia arriba

f(x) = x^3 - 3x^2 + 2

, la curva del momento animado?

Pregunta 4 · Una trampa con x⁴

Para

f(x) = x^4

f''(0) = 0

. ¿Tiene un punto de inflexión en

x = 0

Pregunta 5 · El criterio de la segunda derivada

Una función cumple

f'(c) = 0

f''(c) = -5

. ¿Qué hay en

x = c

Pregunta 6 · La población de Colombia

Según las proyecciones de Naciones Unidas que publica el Banco Mundial, Colombia pasaría de 53,4 millones de personas en 2025 a 55,7 millones en 2030 (unos 2,3 millones más), y de 59,19 millones en 2045 a 59,39 millones en 2050 (unos 0,2 millones más). ¿Cómo es la curva de la población en esos años?