3. Criterio de la Primera Derivada

Aprende a determinar dónde una función crece o decrece y clasifica sus extremos locales analizando el signo de f'.

Estudiar en la plataforma interactiva

El Lenguaje de los Signos

La derivada f′(x)f'(x) no es solo un número; es una brújula. Nos dice hacia dónde se dirige la función en cada instante.

f'(x) > 0 (Positiva)

La función es creciente. Estamos subiendo la montaña.

f'(x) < 0 (Negativa)

La función es decreciente. Estamos bajando la montaña.

Visualizando el Cambio

Los máximos y mínimos ocurren cuando la función cambia de dirección. Usa el escáner para ver cómo el signo de la derivada dicta la forma de la curva.

Análisis de Signos

Observa el color de la tangente.
Verde (+) = Sube.Rojo (-) = Baja.

Comportamiento
Creciendo
f'(x) > 0
x = -2.2x = 2.2

El Criterio de la Primera Derivada

Supongamos que cc es un número crítico de una función continua ff:

  • + ➔ -Si f′f' cambia de positiva a negativa, hay un MÁXIMO LOCAL.
  • - ➔ +Si f′f' cambia de negativa a positiva, hay un MÍNIMO LOCAL.
  • + ➔ +Si no hay cambio de signo, no es ni máximo ni mínimo.

Estrategia Maestra: La Tabla de Signos

Para resolver estos problemas sin gráfica, los expertos usan una "Tabla de Prueba de Intervalos".

  1. Encuentra los puntos críticos (donde f′=0f'=0 o no existe).
  2. Corta la recta numérica usando estos puntos como tijeras.
  3. Elige un "número de prueba" en cada intervalo y evalúalo en f′f'.
  4. El signo resultante domina TODO el intervalo.

Ojo Experto: No olvides incluir las asíntotas verticales o discontinuidades en tu recta numérica, ya que el signo también puede cambiar ahí, aunque no sean puntos críticos válidos para extremos.

Entrenamiento Práctico

1. El Falso Positivo

Analiza la función f(x)=x3f(x) = x^3 en x=0x=0.
Encuentra el punto crítico y usa el criterio de la primera derivada para clasificarlo.

Derivada
f′(x)=3x2f'(x) = 3x^2
Punto Crítico
x=0x = 0
Ver Análisis

Intervalo Izquierdo (x′<′0x {'<'} 0): Prueba x=−1x=-1.
f′(−1)=3(−1)2=3>0f'(-1) = 3(-1)^2 = 3 > 0 (Creciente).

Intervalo Derecho (x′>′0x {'>'} 0): Prueba x=1x=1.
f′(1)=3(1)2=3>0f'(1) = 3(1)^2 = 3 > 0 (Creciente).

Conclusión: El signo NO cambia (+ a +). x=0 NO es un extremo, es un punto de inflexión.
CONTEXTO PISA / BIOMEDICINA

Concentración de Fármaco

La concentración C(t)C(t) de un antibiótico en el torrente sanguíneo tt horas después de la inyección se modela como:

C(t)=3tt2+1C(t) = \frac{3t}{t^2 + 1}

Pregunta: ¿En qué intervalo de tiempo está aumentando la concentración del fármaco y cuándo alcanza su efectividad máxima?

Datos Clínicos

  • Modelo:Racional
  • Herramienta: C′(t)C'(t) (Regla del Cociente)
  • Pico Máximo:¿? horas
Ver Diagnóstico

1. Derivada (Regla del Cociente):

C′(t)=3(1−t2)(t2+1)2C'(t) = \frac{3(1-t^2)}{(t^2+1)^2}

2. Puntos Críticos:

El numerador es cero cuando 1−t2=01 - t^2 = 0, es decir, t=1t = 1 (descartamos −1-1 por tiempo negativo).

3. Análisis de Signos:

  • Para 0<t<10 < t < 1 (ej. 0.5): C′>0C' > 0 (Sube).
  • Para t>1t > 1 (ej. 2): C′<0C' < 0 (Baja).

La concentración aumenta durante la primera hora y alcanza su máximo exacto en t=1t = 1 hora.