3. Criterio de la Primera Derivada

Aprende a determinar dónde una función crece o decrece y clasifica sus extremos locales analizando el signo de f'.

Estudiar en la plataforma interactiva

Para empezar

¿Cima o valle?

En una caminata por la cordillera, el camino va plano un instante en la cima de una loma y también en el fondo de una hondonada. ¿Cómo saber cuál es cuál sin ver el camino entero?

Mirando antes y después: si subías y empiezas a bajar, estás en una cima; si bajabas y empiezas a subir, en un valle. Eso es el signo de la derivada. Míralo escribirse.

Momento animado

La tabla de signos se escribe sola

024681004080120xmiles $
G′

Etapa 1 de 4 · Baja

Un taller gana G(x)=−x3+12x2−20xG(x) = -x^3 + 12x^2 - 20x miles de pesos con xx compostadores a la semana. Al comienzo la ganancia baja: G′(x)<0G'(x) < 0, y en la tabla se escribe un −.

x = 0,00 · G(x) = 0,00 · G′(x) = -20,00. G′(x) < 0: la ganancia baja.

El Lenguaje de los Signos

La derivada f′(x)f'(x) no es solo un número; es una brújula. Nos dice hacia dónde se dirige la función en cada instante.

f'(x) > 0 (Positiva)

La función es creciente. Estamos subiendo la montaña.

f'(x) < 0 (Negativa)

La función es decreciente. Estamos bajando la montaña.

Visualizando el Cambio

Los máximos y mínimos ocurren cuando la función cambia de dirección. Usa el escáner para ver cómo el signo de la derivada dicta la forma de la curva.

Laboratorio

Análisis de signos

Recorre la curva. Donde f′(x)>0f'(x) > 0 la tangente sube (verde) y ff crece; donde f′(x)<0f'(x) < 0 baja (roja) y ff decrece.

  • f(x)=x3−3xf(x) = x^3 - 3x
  • Tangente en el punto
  • Puntos críticos
x = -1,8

Pendiente, f′(x)f'(x)

6,72

Altura, f(x)f(x)

-0,432

Tabla de signos

  1. x < -1f′ > 0 · crece
  2. -1 < x < 1f′ < 0 · decrece
  3. x > 1f′ > 0 · crece

f'(-1,8) = 6,72 > 0: la función crece en este tramo.

El Criterio de la Primera Derivada

Supongamos que cc es un número crítico de una función continua ff:

  • + ➔ -Si f′f' cambia de positiva a negativa, hay un MÁXIMO LOCAL.
  • - ➔ +Si f′f' cambia de negativa a positiva, hay un MÍNIMO LOCAL.
  • + ➔ +Si no hay cambio de signo, no es ni máximo ni mínimo.

Estrategia Maestra: La Tabla de Signos

Para resolver estos problemas sin gráfica, los expertos usan una "Tabla de Prueba de Intervalos".

  1. Encuentra los puntos críticos (donde f′=0f'=0 o no existe).
  2. Corta la recta numérica usando estos puntos como tijeras.
  3. Elige un "número de prueba" en cada intervalo y evalúalo en f′f'.
  4. El signo resultante domina TODO el intervalo.

Ojo Experto: No olvides incluir las asíntotas verticales o discontinuidades en tu recta numérica, ya que el signo también puede cambiar ahí, aunque no sean puntos críticos válidos para extremos.

Ejemplo resuelto

La tabla de signos de un polinomio

Halla y clasifica los extremos locales de f(x)=x3−3x2−9x+5f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 5.
  1. 1

    Deriva y factoriza

    f′(x)=3x2−6x−9=3(x+1)(x−3)\begin{aligned} f'(x) &= 3x^2 - 6x - 9 \\ &= 3(x + 1)(x - 3) \end{aligned}
  2. 2

    Los puntos críticos

    f′(x)=0f'(x) = 0 en x=−1x = -1 y en x=3x = 3. Parten la recta en tres intervalos.
  3. 3

    El signo en cada intervalo

    Con un valor de prueba en cada uno: f′(−2)=15>0f'(-2) = 15 > 0, f′(0)=−9<0f'(0) = -9 < 0, f′(4)=15>0f'(4) = 15 > 0. La tabla queda + | − | +.
  4. 4

    Lee el criterio

    En x=−1x = -1 pasa de + a −: máximo local, f(−1)=10f(-1) = 10. En x=3x = 3 pasa de − a +: mínimo local, f(3)=−22f(3) = -22.
Son extremos locales: lejos de ellos, ff toma valores mayores que 10 y menores que −22, porque un polinomio de grado 3 crece y decrece sin límite.

Entrenamiento Práctico

1. El Falso Positivo

Analiza la función f(x)=x3f(x) = x^3 en x=0x=0.
Encuentra el punto crítico y usa el criterio de la primera derivada para clasificarlo.

Derivada
f′(x)=3x2f'(x) = 3x^2
Punto Crítico
x=0x = 0
Ejercicio: Diagnóstico de Falsos Extremos

¿Qué dictamina el criterio de la primera derivada para f(x)=x3f(x) = x^3 en x=0x=0?

CONTEXTO TIPO PISA / BIOMEDICINA

Concentración de Fármaco

La concentración C(t)C(t) de un antibiótico en el torrente sanguíneo tt horas después de la inyección se modela como:

C(t)=3tt2+1C(t) = \frac{3t}{t^2 + 1}

Pregunta: ¿En qué intervalo de tiempo está aumentando la concentración del fármaco y cuándo llega a su máximo?

Datos Clínicos

  • Modelo:Racional
  • Herramienta: C′(t)C'(t) (Regla del Cociente)
  • Pico Máximo:¿? horas
Evaluación Clínica: Criterio de Primera Derivada

¿En qué intervalo crece la concentración y en qué momento llega a su máximo?

Ejercicio 3: Clasificar con el signo
Para g(x)=x3−3xg(x) = x^3 - 3x, g′(x)=3(x−1)(x+1)g'(x) = 3(x - 1)(x + 1). ¿Qué extremos locales tiene?
Ejercicio 4: Un crítico que no es extremo
Para f(x)=x4−4x3f(x) = x^4 - 4x^3, f′(x)=4x2(x−3)f'(x) = 4x^2(x - 3). ¿Qué pasa en x=0x = 0?
Ejercicio 5: El problema de Fermat
Se divide un segmento de 10 cm en dos partes. ¿Cómo se divide para que el producto de las dos partes sea el mayor posible?
Ejercicio 6: Leer la gráfica de la derivada
La gráfica de f′f' (no la de ff) cruza el eje x de abajo hacia arriba en x=−2x = -2 y lo toca sin cruzarlo en x=1x = 1, quedando por encima. ¿Qué extremos tiene ff?