2. El Teorema del Valor Medio

Descubre por qué el promedio siempre coincide con el instante al menos una vez. La conexión fundamental entre secantes y tangentes.

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Para empezar

¿Fuiste alguna vez a tu promedio?

Si un bus recorre 500 m entre dos estaciones en 50 s, su velocidad media es 10 m/s (36 km/h). Arrancó desde 0 y frenó hasta 0, así que no fue a 36 km/h todo el tiempo.

Pero ¿hubo algún instante en que el velocímetro marcó justo 36 km/h? El teorema del valor medio dice que sí. Míralo (datos hipotéticos).

Momento animado

El instante en que vas a tu promedio

010203040500100200300400500t (s)s (m)

Etapa 1 de 4 · La velocidad media

Un bus eléctrico recorre 500 m entre dos estaciones en 50 s: su velocidad media es 50050=10\tfrac{500}{50} = 10 m/s, la pendiente de la secante roja.

Velocidad media: 500 ÷ 50 = 10 m/s. La paralela todavía no es tangente.

La Multa Inevitable

Imagina que entras a una autopista a las 2:00 p. m. y sales a las 4:00 p. m., después de recorrer 200 km.

Distancia
200 km
Tiempo
2 h
Velocidad Promedio
100 km/h

Aunque hayas frenado o acelerado en el camino, el Teorema del Valor Medio (TVM) garantiza matemáticamente que hubo al menos un instante exacto donde tu velocímetro marcó exactamente 100 km/h.

Geometría: Secantes vs Tangentes

Geométricamente, la velocidad promedio es la pendiente de la línea secante (conecta el inicio y el final). La velocidad instantánea es la pendiente de la línea tangente.

El TVM dice que siempre existe un punto cc donde ambas líneas son paralelas.

Laboratorio

El cazador de paralelas

La secante punteada une (0,f(0))(0, f(0)) y (3,f(3))(3, f(3)). Mueve cc hasta que la tangente quede paralela a ella.

  • f(x)=−x2+4xf(x) = -x^2 + 4x
  • Secante de a a b (el promedio)
  • Tangente en c
c = 0,5

Pendiente promedio (secante)

1

f(3)−f(0)3−0=33\tfrac{f(3) - f(0)}{3 - 0} = \tfrac{3}{3}

Pendiente en c, f′(c)f'(c)

3

4−2c=34 - 2c = 3

f′(0,5) = 3, no 1: la tangente sube más que la secante. Sigue buscando.

La Fórmula Sagrada del TVM

f′(c)=f(b)−f(a)b−af'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}

"La derivada en c (instante) es igual a la pendiente entre a y b (promedio)."

El Caso Especial: Teorema de Rolle

Michel Rolle analizó un caso específico: ¿Qué pasa si empiezas y terminas a la misma altura? Es decir, f(a)=f(b)f(a) = f(b).

En este caso, la pendiente promedio es 0. Por lo tanto, debe haber un punto donde la tangente sea horizontal (f′(c)=0f'(c) = 0).

"Todo lo que sube tiene que bajar... y en el punto más alto, se detiene por un instante."

Condiciones Vitales

El TVM es poderoso, pero frágil. Solo funciona si la función es "suave" y "sin roturas".

  • Continua en el intervalo cerrado [a,b][a, b].
  • Diferenciable en el abierto (a,b)(a, b) (sin picos).

Ejemplo resuelto

¿Cuándo marcó 36 km/h el bus?

El bus recorre s(t)=0,6t2−0,008t3s(t) = 0{,}6t^2 - 0{,}008t^3 metros en los 50 s entre dos estaciones. ¿En qué instantes su velocidad es igual a la velocidad media?
  1. 1

    La velocidad media

    s(50)−s(0)50−0=500−050=10 m/s\frac{s(50) - s(0)}{50 - 0} = \frac{500 - 0}{50} = 10 \text{ m/s}
  2. 2

    El teorema garantiza un c con esa velocidad

    ss es un polinomio: continua y derivable. Hay al menos un cc en (0,50)(0, 50) con s′(c)=10s'(c) = 10.
  3. 3

    Iguala la velocidad a 10

    s′(c)=1,2c−0,024c2=10s'(c) = 1{,}2c - 0{,}024c^2 = 10
  4. 4

    Resuelve la cuadrática

    c=25±2533≈10,57   o   39,43c = 25 \pm \frac{25\sqrt{3}}{3} \approx 10{,}57 \;\text{ o }\; 39{,}43
Los dos están dentro de (0,50)(0, 50): el velocímetro marca 10 m/s (36 km/h) al acelerar, a los 10,57 s, y al frenar, a los 39,43 s.

Desafíos de Aplicación

1. Encontrando el Valor 'c'

Dada la función f(x)=x2+2xf(x) = x^2 + 2x en el intervalo [−2,0][-2, 0], encuentra el valor de cc que satisface el Teorema del Valor Medio.

Paso 1: Extremos
f(−2)=0f(-2) = 0
f(0)=0f(0) = 0
Paso 2: Derivada
f′(x)=2x+2f'(x) = 2x + 2
Ejercicio: Determinación del Punto de Rolle

¿Qué valor de c∈(−2,0)c \in (-2, 0) satisface el Teorema de Rolle para f(x)=x2+2xf(x) = x^2 + 2x?

CONTEXTO TIPO PISA / SEGURIDAD VIAL

Radares de Tramo

Un sistema de cámaras registra que un vehículo pasa por el punto A a las 10:00:00 y por el punto B (situado a 12 km de distancia) a las 10:05:00.

El límite de velocidad en ese tramo es de 120 km/h. El conductor argumenta que al pasar por ambas cámaras iba a 110 km/h.

Pregunta: ¿Es matemáticamente posible demostrar que el conductor infringió la ley en algún punto del trayecto?

Evidencia Matemática

  • Distancia (Δx\Delta x):12 km
  • Tiempo (Δt\Delta t):5 min = 112\frac{1}{12} h
  • Velocidad Media:¿? km/h
Veredicto Legal-Matemático: Radar de Tramo

¿Es matemáticamente concluyente la infracción por exceso de velocidad según el TVM?

Ejercicio 3: El punto del valor medio
Para f(x)=x2f(x) = x^2 en [1,3][1, 3], ¿en qué cc la tangente es paralela a la secante?
Ejercicio 4: Rolle
Para f(x)=x2−4xf(x) = x^2 - 4x en [0,4][0, 4], f(0)=f(4)=0f(0) = f(4) = 0. ¿Dónde asegura Rolle una tangente horizontal?
Ejercicio 5: Las hipótesis importan
Para f(x)=∣x∣f(x) = |x| en [−1,1][-1, 1], f(−1)=f(1)=1f(-1) = f(1) = 1, pero no hay ningún cc con f′(c)=0f'(c) = 0. ¿Por qué no contradice a Rolle?
Ejercicio 6: ¿Qué asegura el teorema?
Un carro recorre 30 km en 15 minutos. ¿Qué asegura el teorema del valor medio?