2. El Teorema del Valor Medio

Descubre por qué el promedio siempre coincide con el instante al menos una vez. La conexión fundamental entre secantes y tangentes.

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La Multa Inevitable

Imagina que entras a un túnel a las 2:00 PM y sales a las 4:00 PM. El túnel mide 200 km.

Distancia
200 km
Tiempo
2 h
Velocidad Promedio
100 km/h

Aunque hayas frenado o acelerado dentro del túnel, el Teorema del Valor Medio (TVM) garantiza matemáticamente que hubo al menos un instante exacto donde tu velocímetro marcó exactamente 100 km/h.

Geometría: Secantes vs Tangentes

Geométricamente, la velocidad promedio es la pendiente de la línea secante (conecta el inicio y el final). La velocidad instantánea es la pendiente de la línea tangente.

El TVM dice que siempre existe un punto cc donde ambas líneas son paralelas.

El Cazador de Paralelas

La línea punteada azul conecta el inicio y el final (Promedio).
Mueve el punto rojo hasta que su tangente sea paralela a la azul.

Pendiente Promedio (Secante):1.00
Pendiente Instantánea (Tangente):1.00
¡Encontrado! f'(c) = Promedio

La Fórmula Sagrada del TVM

f′(c)=f(b)−f(a)b−af'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}

"La derivada en c (instante) es igual a la pendiente entre a y b (promedio)."

El Caso Especial: Teorema de Rolle

Michel Rolle analizó un caso específico: ¿Qué pasa si empiezas y terminas a la misma altura? Es decir, f(a)=f(b)f(a) = f(b).

En este caso, la pendiente promedio es 0. Por lo tanto, debe haber un punto donde la tangente sea horizontal (f′(c)=0f'(c) = 0).

"Todo lo que sube tiene que bajar... y en el punto más alto, se detiene por un instante."

Condiciones Vitales

El TVM es poderoso, pero frágil. Solo funciona si la función es "suave" y "sin roturas".

  • Continua en el intervalo cerrado [a,b][a, b].
  • Diferenciable en el abierto (a,b)(a, b) (sin picos).

Desafíos de Aplicación

1. Encontrando el Valor 'c'

Dada la función f(x)=x2+2xf(x) = x^2 + 2x en el intervalo [−2,0][-2, 0], encuentra el valor de cc que satisface el Teorema del Valor Medio.

Paso 1: Extremos
f(−2)=0f(-2) = 0
f(0)=0f(0) = 0
Paso 2: Derivada
f′(x)=2x+2f'(x) = 2x + 2
Ver Resultado

Como f(−2)=f(0)f(-2) = f(0), estamos ante el Teorema de Rolle. Buscamos donde la derivada es cero.

2c+2=0  ⟹  2c=−2  ⟹  c=−12c + 2 = 0 \implies 2c = -2 \implies c = -1

Respuesta: c = -1
CONTEXTO PISA / SEGURIDAD VIAL

Radares de Tramo

Un sistema de cámaras registra que un vehículo pasa por el punto A a las 10:00:00 y por el punto B (situado a 12 km de distancia) a las 10:05:00.

El límite de velocidad en ese tramo es de 120 km/h. El conductor argumenta que al pasar por ambas cámaras iba a 110 km/h.

Pregunta: ¿Es matemáticamente posible demostrar que el conductor infringió la ley en algún punto del trayecto?

Evidencia Matemática

  • Distancia (Δx\Delta x):12 km
  • Tiempo (Δt\Delta t):5 min = 112\frac{1}{12} h
  • Velocidad Media:¿? km/h
Ver Veredicto

Calculamos la velocidad promedio usando la fórmula del TVM:

Vmedia=12 km1/12 h=144 km/hV_{media} = \frac{12 \text{ km}}{1/12 \text{ h}} = 144 \text{ km/h}

Conclusión: Según el TVM, hubo al menos un instante cc donde la velocidad instantánea fue exactamente 144 km/h.
El conductor recibe la multa. 144 > 120.