12. Área bajo la Curva (Intro) | Cálculo Diferencial

Para empezar

Del velocímetro a la distancia

En un bus, el velocímetro marca la velocidad de cada instante y el odómetro suma los metros recorridos. Si la velocidad fuera constante, distancia = velocidad × tiempo. Pero el bus arranca, acelera y frena.

La salida: partir el viaje en tramos cortos, en los que la velocidad casi no cambia, y sumar. Mira qué pasa cuando los tramos se afinan.

Momento animado

Rectángulos que se afinan

Etapa 1 de 4 · La velocidad

Un bus eléctrico va de una estación a la siguiente en 50 s. Su velocidad es

v(t) = 1{,}2t - 0{,}024t^2

m/s: arranca, llega a 15 m/s y frena. ¿Cuántos metros recorrió?

Todavía sin rectángulos: primero, la curva.

La Estrategia de Divide y Vencerás

Sabemos calcular el área de un cuadrado, un triángulo o un círculo. Pero, ¿cómo calculamos el área bajo una curva caprichosa y ondulante?

1. La Idea Intuitiva

Si no puedes medir la curva, aproxima con algo que sí sabes medir: Rectángulos. Llenamos el espacio bajo la curva con barras.

2. El Salto al Infinito

Si hacemos los rectángulos cada vez más delgados (infinitos rectángulos), los huecos desaparecen. La aproximación se vuelve exacta.

Definición Formal

Suma de Riemann (Aprox)

\sum_{i=1}^{n} f(x_i^*) \Delta x

Integral Definida (Exacta)

\int_{a}^{b} f(x) \, dx

Laboratorio Interactivo

No me creas a mí: créeles a tus ojos. Usa el simulador para cambiar el número de rectángulos ( $n$ ) y observa cómo el área roja (error) disminuye.

Laboratorio

Laboratorio de Riemann

Cambia el número de rectángulos $n$ y dónde se mide la altura de cada uno. Mira cómo la suma se acerca al área exacta.

$f(x) = 0{,}1x^2 + 1$
4 rectángulos de ancho 1,5

Rectángulos,

n

n = 4

Suma de los rectángulos

10,7250

\sum_{i=1}^{4} f(x_i^*)\,\Delta x,\ \Delta x = \tfrac{6}{4}

Área exacta (integral)

13,2

\int_0^6 (0{,}1x^2 + 1)\,dx

La suma queda por debajo del área exacta, a 2,4750 (18,75%). Como la curva sube, la altura de la izquierda se queda corta en cada rectángulo. Con más rectángulos el error se encoge: cuando n tiende a infinito, la suma se acerca a 13,2.

Nota Experta: Observa que el método del Punto Medio suele converger al valor real mucho más rápido que usar los extremos Izquierdo o Derecho. Es un truco computacional muy usado.

Ejemplo resuelto

La distancia del bus con cinco rectángulos

La velocidad del bus es

v(t) = 1{,}2t - 0{,}024t^2

m/s entre 0 y 50 s (datos hipotéticos). Estima la distancia con 5 tramos y el extremo derecho de cada uno.

1
Ancho de cada tramo
$\Delta t = \frac{50 - 0}{5} = 10 \text{ s}$
2
Alto de cada rectángulo: la velocidad al final del tramo
$\begin{aligned} v(10) &= 9{,}6 & v(20) &= 14{,}4 \\ v(30) &= 14{,}4 & v(40) &= 9{,}6 \\ v(50) &= 0 \end{aligned}$
3
Suma las áreas: alto × ancho
$\begin{aligned} R_5 &= 10\,(9{,}6 + 14{,}4 + 14{,}4 \\ &\qquad + 9{,}6 + 0) \\ &= 10 \cdot 48 = 480 \text{ m} \end{aligned}$
4
Compara con el valor exacto
La distancia exacta es $s(50) = 0{,}6 \cdot 50^2 - 0{,}008 \cdot 50^3 = 500$ m. Con 5 tramos faltan 20 m; con 10, faltan 5; con 20, 1,25.

La distancia es el área bajo la curva de velocidad. Las sumas de rectángulos se acercan a ella cuando los tramos se afinan:

\lim_{n \to \infty} R_n = 500

Desafíos de Aplicación

PrácticaCálculo Manual

Calcula la suma de Riemann izquierda para $f(x) = x^2$ en el intervalo $[0, 2]$ con $n=4$ rectángulos.

Ejercicio interactivo: Suma de Riemann Izquierda

Calcula la suma de Riemann por la izquierda para $f(x) = x^2$ en $[0, 2]$ con $n=4$ rectángulos.

CONTEXTO TIPO PISA: ENERGÍA RENOVABLE

La Granja Solar

Un panel solar no genera energía constante. Depende de la posición del sol. La gráfica muestra la Potencia (kilovatios) generada durante el día.

Para saber cuánta energía total (kWh) se acumuló, necesitamos el área bajo la curva de potencia.

Hora (t)	Potencia P(t)
12:00 m.	5,0 kW
1:00 p. m.	4,8 kW
2:00 p. m.	4,2 kW

Pregunta de Análisis

Si usamos una Suma de Riemann por la Izquierda con intervalos de 1 hora entre las 12:00 m. y las 2:00 p. m., ¿cuánta energía estimamos?

Contexto Real: Energía Solar Acumulada

Usando una Suma de Riemann por la Izquierda con intervalos de 1 hora entre las 12:00 m. y las 2:00 p. m., ¿cuánta energía total en $\text{kWh}$ estimamos?

Ejercicio 3 · Diez rectángulos

Con 10 tramos de 5 s y extremos derechos, las velocidades del bus suman 99 m/s (5,4 + 9,6 + 12,6 + 14,4 + 15 + 14,4 + 12,6 + 9,6 + 5,4 + 0). ¿Qué distancia estima la suma de Riemann?

Ejercicio 4 · ¿A dónde van las sumas?

Con 10, 20 y 40 rectángulos, las sumas dan 495; 498,75 y 499,69 m. ¿A qué valor se acercan?

Ejercicio 5 · Las unidades del área

En una gráfica de velocidad (m/s) contra tiempo (s), ¿qué unidades tiene el área bajo la curva?

Ejercicio 6 · Qué mide el área

¿Qué representa el área bajo la curva de velocidad del bus entre 0 y 50 s?