12. Área bajo la Curva (Intro) | Cálculo Diferencial

La Estrategia de Divide y Vencerás

Sabemos calcular el área de un cuadrado, un triángulo o un círculo. Pero, ¿cómo calculamos el área bajo una curva caprichosa y ondulante?

1. La Idea Intuitiva

Si no puedes medir la curva, aproxima con algo que sí sabes medir: Rectángulos. Llenamos el espacio bajo la curva con barras.

2. El Salto al Infinito

Si hacemos los rectángulos cada vez más delgados (infinitos rectángulos), los huecos desaparecen. La aproximación se vuelve exacta.

Definición Formal

Suma de Riemann (Aprox)

\sum_{i=1}^{n} f(x_i^*) \Delta x

Integral Definida (Exacta)

\int_{a}^{b} f(x) \, dx

Laboratorio Interactivo

No me creas a mí, créelo a tus ojos. Usa el simulador para cambiar el número de rectángulos ( $n$ ) y observa cómo el área roja (error) disminuye.

Laboratorio de Riemann

Visualiza cómo la suma de rectángulos se acerca al área real

Aprox (Suma):10.7250

Exacta (Integral):13.2000

Error:18.75%

Rectángulos (n)4

A medida que $n \to \infty$ , el error $\to 0$ .

Punto de Muestra

Notación Sigma

A \approx \sum_{i=1}^{4} f(x_i^*) \cdot 1.50

Nota Experta: Observa que el método del Punto Medio suele converger al valor real mucho más rápido que usar los extremos Izquierdo o Derecho. Es un truco computacional muy usado.

Desafíos de Aplicación

PrácticaCálculo Manual

Calcula la suma de Riemann izquierda para $f(x) = x^2$ en el intervalo $[0, 2]$ con $n=4$ rectángulos.

Ver Solución Paso a Paso▼

1. Ancho ( $\Delta x$ ): $\frac{2-0}{4} = 0.5$

2. Puntos ( $x_i$ ): Izquierda ${0, 0.5, 1.0, 1.5}$

3. Alturas ( $f(x_i)$ ): $0^2=0$ , $0.5^2=0.25$ , $1^2=1$ , $1.5^2=2.25$

4. Suma: $0.5(0 + 0.25 + 1 + 2.25) = 0.5(3.5) = 1.75$

CONTEXTO PISA: ENERGÍA RENOVABLE

La Granja Solar

Un panel solar no genera energía constante. Depende de la posición del sol. La gráfica muestra la Potencia (kilowatts) generada durante el día.

Para saber cuánta energía total (kWh) se acumuló, necesitamos el área bajo la curva de potencia.

Hora (t)	Potencia P(t)
12:00 PM	5.0 kW
01:00 PM	4.8 kW
02:00 PM	4.2 kW

Pregunta de Análisis

Si usamos una Suma de Riemann por la Izquierda con intervalos de 1 hora entre las 12:00 y las 02:00 PM, ¿cuánta energía estimamos?

Revelar Cálculo

Intervalos: [12-1], [1-2]. Ancho $\Delta t = 1$ h.

Alturas (Izquierda):

12:00 PM $\to$ 5.0 kW
01:00 PM $\to$ 4.8 kW (No usamos el de las 2pm)

E \approx 1(5.0) + 1(4.8) = 9.8 \text{kWh}